為了乙噸乙噸B_t布朗運動的機率是多少乙1>0乙1>0B_1>0和乙2<0乙2<0B_2<0?

讓 $ B_t $ 成為布朗運動。發生的機率是多少 $ B_1>0 $ 和 $ B_2<0 $ ?

該問題相當於給定了 2 個獨立的標準法線 $ W $ 和 $ Z $ 的機率

$$ W > 0, \text{ and } W+Z<0. $$ 或者 $$ W > 0, \text{ and } Z<-W. $$ 繪製這個集合，我們看到它是右下象限的下半部分。處於右下象限的機率很明顯 $ 0.25 $ 通過對稱。由於對稱性，再次處於下半部分的機率是一半，所以答案是 $ 0.125. $

B1~N(0,1) 和 B2=B1+Z，對於 Z~N(0,1)。由此E(B1B1)=E(B1B2)=1，E(B2*B2)=2。因此它們是具有共變異數矩陣 (1,1;1,2) 的二元高斯，因此機率約為 12%，即右下象限的體積。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17807