對於關於布朗運動的 Ito Integrals，為什麼持有的股票數量是一個隨機過程？
假設 $ B $ 是一個維納過程，假設 $ H $ 是一個右連續的、適應的和局部有界的過程。認為
$$ \int_0^t H dB $$ 是 Ito 積分 $ H $ 關於維納過程。
現在，假設 $ B $ 代表股票價格和 $ H $ 代表持有的股票數量。
直覺地說，如果股票遵循維納過程，那麼使用隨機過程來處理它是有意義的
但是，我不明白為什麼 $ H $ 是一個隨機過程。假設我是一家貿易公司。為什麼我持有的金額是隨機的？
它可能取決於布朗量 - 例如，可能是 B 的函式， $ H(B) $ . 這意味著您可以根據布朗/隨機性的演變方式隨著時間的推移改變您的持有量，但對於 Ito 的定義，H 應該有點不可預測，粗略地說，H 不能取決於下一步，因為您無法預測下一步選擇投資多少時，布朗方程的變化。
$ H $ 一般是隨機的。交易公司在股票中的位置顯然是隨機的，因為它取決於股票價格的實現。如果一家公司沒有投資股票，但因為股票不斷上漲而改變了主意，那麼他們可能會改變看法並開始投資該資產。因此，交易策略取決於交易股票的隨機性。
然而，這是關鍵，這個過程 $ (H_t) $ 需要適應，即適時 $ t $ 您需要根據當時可用的資訊知道您持有多少股票 $ t $ ，這表示為 $ \mathcal{F}_t $ . 因此，只有 $ (\mathcal{F}t) $ - 適應的過程有資格作為交易策略。如果 $ H_t $ 將取決於，例如， $ \mathcal{F}{t+1} $ ，那麼您將使用未來的資訊來做出今天的決定，這肯定不是一個合理的模型設置。
在離散時間模型中， $ (H_t) $ 需要是可預見的（又名可預測的），即您需要提前知道您想投資於一項資產。這意味著你需要知道 $ H_t $ 基於上一個時間步的可用資訊， $ \mathcal{F}_{t-1} $ .
要使交易策略（又名投資組合）被接受，需要對其進行調整、自籌資金和 $ \int_t^T \mathbb{E}[H_uS_u]^2\mathrm{d}u<\infty $ .