Quanto/Compo 調整的 Girsanov 定理
假設我有外國資產
$$ Y_t = Y_0 \exp \left((r_f-\frac{1}{2}\sigma^2_Y)t+\sigma_Y W_t^1\right) $$和匯率 $$ X_t = X_0 \exp\left((r_d-r_f-\frac{1}{2}\sigma^2_X)t+\sigma_X W_t^2\right) $$ 我想計算期望 $ Y_tX_t $ 在國內 rsik 中性市場措施下。我知道我想使用 Girsanov，但不知道如何處理。
然後，我的最終目標是將工作擴展到 $ Y_t^2 X_t $ 或者 $ X_t^2 Y_t $ 或者 $ X_t^2 Y_t^2 $ 等等，所以這種措施的改變對我有用
假設確定性和恆定利率。
對於外國經濟的投資者，即只能交易以外幣支付的資產的市場參與者，讓我們定義
$$ \tilde{X}t = \tilde{X}0 \exp \left(\left(r_f-r_d-\frac{\sigma\tilde{X}^2}{2}\right)+\sigma\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \right) $$
$$ Y_t =Y_0\exp \left(\left(r_f-\frac{\sigma_Y^2}{2}\right)t+\sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} \right) $$ 在哪裡
- $ \mathbb{Q}^f $ 數字外國風險中性措施（無風險 MMA $ B^f_t = \exp(r_f\ t) $ 是現金）。
- $ \tilde{X}_t $ 表示瞬時 DOM/FOR 匯率。 $ \tilde{X}_t = \text{x} $ 意味著，在時間 $ t $ , 1 單位本幣等於 $ \text{x} $ 外幣單位。
- $ Y_t $ 以外幣計價的股權。
讓我們進一步假設 2 個布朗運動 $ W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} $ 和 $ W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} $ 是相關的 $$ d\langle W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}, W^{Y,\mathbb{Q}^f} \rangle_t = \rho dt $$
注意我是如何使用的 $ \tilde{X}_t $ (DOM/FOR) 而不是 $ X_t $ （FOR/DOM）正如你所提議的，因為在國外經濟中，唯一可交易的資產是： $ Y_t $ , $ B^f_t $ 和 $ B^d_t \tilde{X}_t $ 如上所述（這些都應該是 $ \mathbb{Q}^f $ -martingales 在 numéraire 下表示時 $ B_t^f $ ）。我們確實有關係， $ \tilde{X}_t = 1/X_t $ .
由於資產定價基本定理，對於任何可交易資產 $ V_t $ 以外幣計價，在外國風險中性測度下，我們有 $ \mathbb{Q}^f $
$$ \frac{V_t}{B^f_t} \text{ is a } \mathbb{Q}^f \text{- martingale} \iff \frac{V_0}{B^f_0} = E^{\mathbb{Q}^f}_0 \left[ \frac{V_t}{B^f_t} \right] $$
在國內風險中性措施下 $ \mathbb{Q}^d $ （無風險 MMA $ B^d_t = \exp(r_d\ t) $ 是現金）
$$ \frac{V_t/\tilde{X}_t}{B^d_t} \text{ is a } \mathbb{Q}^d \text{- martingale} \iff \frac{V_0/\tilde{X}_0}{B^d_0 } = E^{\mathbb{Q}^d}_0 \left[ \frac{V_t /\tilde{X}_t^d}{B^d_t} \right] $$ 換言之，在國內風險中性測度下，外幣資產價值換算成本幣單位是鞅。
從上面，我們看到 Radon-Nikodym 導數寫成 $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}_0} = \frac{B_0^f B_t^d \tilde{X}_t}{B_t^f B_0^d \tilde{X}0} $$ 然而因為 $$ \begin{align} \tilde{X}t &= \tilde{X}0\exp \left(\left(r_f-r_d-\frac{1}{2}\sigma\tilde{X}^2\right)t+\sigma\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \right) \ &= \tilde{X}0 \frac{B^f_t}{B^f_0}\frac{B^d_0}{B^d_t}\exp \left(-\frac{1}{2}\sigma\tilde{X}^2t+\sigma\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \right) \end{align} $$
這個衍生物也寫 $$ \begin{align} \left. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}0} &= \exp\left(\sigma\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}-\frac{1}{2}\sigma_\tilde{X}^2t\right) \ &= \mathcal{E}\left(\sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \right) \end{align} $$ 這確實是一個表現良好的 Doléans-Dade 指數，我們使用了符號 $$ \mathcal{E}(M_t) = \exp \left( M_t - \frac{1}{2}\langle M \rangle_t \right) $$ 來表示隨機指數。
因此，Girsanov 定理可以應用於在下變換布朗運動 $ \mathbb{Q}^f $ 作為布朗運動 $ \mathbb{Q}^d $ . 它是如何工作的？
Girsanov 定理（非嚴格版本） - 讓 $ W_t^{\mathbb{Q^f}} $ 表示下的標準布朗運動 $ \mathbb{Q^f} $ 並假設 Radon-Nikodym 導數可以寫成： $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}^d}{d\mathbb{Q}^f} \right\vert_{\mathcal{F}_0} = \mathcal{E}(L_t) $$ 在這種情況下，該過程 $ W_t^{\mathbb{Q^d}} $ 定義為 $$ W_t^{\mathbb{Q^d}} = W_t^{\mathbb{Q^f}} - \langle W^{\mathbb{Q^f}}, L \rangle_t $$ 是一個標準的布朗運動 $ \mathbb{Q^d} $ .
在我們的特定範例中，我們看到 $$ L_t := \sigma_\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} $$
應用 Girsanov 定理然後允許我們寫 $$ \begin{align} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} &= W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} - \langle W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f}, \sigma_\tilde{X} W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \rangle_t \ &= W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} - \sigma_\tilde{X}t \ W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} &= W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} - \langle W^{Y,\mathbb{Q}^f}, \sigma_\tilde{X} W^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} \rangle_t \ &= W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} - \rho \sigma_\tilde{X} t \end{align} $$ 意思是，從 $ \mathbb{Q}^f $ 至 $ \mathbb{Q}^d $ 一個可以替換 $$ \begin{align} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^f} = W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} + \sigma_\tilde{X} t \ W_t^{Y,\mathbb{Q}^f} = W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} + \rho \sigma_\tilde{X} t \ \end{align} $$ 在表達式中 $ \tilde{X}t $ 和 $ Y_t $ 獲得： $$ \begin{align} \tilde{X}t = \tilde{X}0 \exp \left(\left(r_f - r_d + \frac{\sigma\tilde{X}^2}{2}\right) t + \sigma\tilde{X} W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} \right) \ Y_t = Y_0 \exp \left(\left(r_f + \rho \sigma\tilde{X} \sigma_Y - \frac{\sigma_Y^2}{2}\right) t + \sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \right) \end{align} $$
現在假設我們要計算的期望 $ Y_tX_t = Y_t/\tilde{X}t $ 在下面 $ \mathbb{Q}^d $ . 隨機變數 $ Y_t/\tilde{X}t $ 與均值呈對數正態分佈（兩個對數正態的比率） $$ \mu = \ln(Y_0/\tilde{X}0) + \left(r_d - \frac{\sigma^2_X - 2\rho\sigma\tilde{X}\sigma_Y + \sigma_Y^2}{2}\right)t $$ 和變異數 $$ \sigma^2 = \left(\sigma\tilde{X}^2 - 2 \rho \sigma\tilde{X} \sigma_Y + \sigma_Y^2 \right)t $$ 應用通常的公式給出 $$ \begin{align} E^{\mathbb{Q}^d}[Y_t/\tilde{X}_t] &= \exp \left(\mu+\frac{\sigma^2}{2} \right) \ &= Y_0/\tilde{X}_0 \exp \left(r_d t \right) \ &= Y_0/\tilde{X}_0 B_t^d \end{align} $$ 因此 $$ E^{\mathbb{Q}^d} \left[ \frac{Y_t/\tilde{X}_t}{B_t^d} \right] = \frac{Y_0/\tilde{X}_0}{B_0^d} $$ 因為我們已經知道了 $$ \frac{Y_t/\tilde{X}_t}{B^d_t} \text{ was a } \mathbb{Q}^d \text{- martingale} $$
對於quanto 衍生品，我們更喜歡用以下方式表達股票/外匯動態 $ X_t $ FOR/DOM 匯率而不是 DOM/FOR 匯率 $ \tilde{X}t $ . 這可以通過伊藤引理的簡單應用來完成，注意到 $ \tilde{X}t = 1/X_t $ . 這通常會產生： $$ \begin{align} \frac{dX_t}{X_t} = (r_d - r_f) dt + \sigma_X dW_t^{X,\mathbb{Q}^d} \ \frac{dY_t}{Y_t} = (r_f - \rho{XY}\sigma_X\sigma_Y) dt + \sigma_Y dW_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \end{align} $$ 我們介紹過的地方 $$ W_t^{X,\mathbb{Q}^d} = -W_t^{\tilde{X},\mathbb{Q}^d} $$ 這樣 $$ \langle W_t^{X,\mathbb{Q}^d}, W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \rangle_t = \rho{XY} t = -\rho t $$ 我們用 $ \sigma_X = \sigma_{\tilde{X}} $ 為了清楚起見。
因此，最後，在 $ \mathbb{Q}^d $ 我們可以寫：
$$ X_t = X_0 \exp \left(\left(r_d-r_f-\frac{\sigma_X^2}{2}\right)+\sigma_X W_t^{X,\mathbb{Q}^d} \right) $$
$$ Y_t = Y_0\exp \left(\left(r_f - \rho_{XY}\sigma_X\sigma_Y -\frac{\sigma_Y^2}{2}\right)t + \sigma_Y W_t^{Y,\mathbb{Q}^d} \right) $$
數量在哪裡 $$ F(0,t) = E^{\mathbb{Q}^d}0 \left[ Y_t \right] = Y_0\exp \left(\left(r_f - \rho{XY}\sigma_X\sigma_Y\right)t\right) $$ 被稱為量子前鋒。
再一次很容易證明 $$ \frac{Y_tX_t}{B_t^d} \text{ is a } \mathbb{Q}^d \text{- martingale} $$ 使用以下事實 $ Z=Y_t X_t $ 是對數正態的乘積（而不是以前的比率）