我們如何計算和[在s在噸|在s]和[在s在噸|在s]E[W_sW_t|W_s]

$ W_t $ 是布朗運動。我們如何計算這個期望值？有兩種情況：

1. $ s < t $
2. $ t < s $

我們是否必須區分這兩種情況或有統一的計算方式

為了 $ s<t $ ， 然後 $$ \begin{align*} E\big(W_sW_t ,|, W_s\big) &= W_sE\big((W_t-W_s + W_s),|,W_s\big) \ &=W_s^2. \end{align*} $$

為了 $ 0 < t < s $ ， 然後$$ E\left(W_s \Big(W_t-\frac{t}{s}W_s\Big) \right)= 0, $$並且，鑑於他們的共同常態， $ W_s $ 和 $ W_t-\frac{t}{s}W_s $ 是獨立的。所以， $$ \begin{align*} E\big(W_sW_t ,|, W_s\big) &= W_sE\left(\Big(W_t-\frac{t}{s}W_s +\frac{t}{s} W_s\Big),|,W_s\right) \ &= \frac{t}{s} W_s^2. \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/49483