如何計算和[W（噸)經驗(W.（噸)]和[在(噸)經驗(在(噸)]E[W(T)exp(W(T)]
這個面試題我有過兩次。有誰知道這個問題來自哪本面試題集或其他來源？這可能是一些眾所周知的來源，因為兩個不同的面試官問了同一個問題，但不幸的是我不知道來源。
以下是我在採訪中所做的：
將伊藤應用於 $ f(W)=W\exp(W) $
$ \frac{\partial f}{\partial W}=\exp(W)+W \exp(W) $
$ \frac{\partial^2 f}{\partial W^2}=2\exp(W)+W \exp(W) $
$ df=(\exp(W)+W \exp(W))dW + (\exp(W)+1/2 W \exp(W)) dt $
鑑於我們將計算期望值，我們忽略隨機積分項：
$ df= (\exp(W)+1/2f) dt $
下面是我將如何解決這個問題。我想說這是大學機率課中反復出現的練習。
基於特徵函式推導的解決方案 $ e^{\lambda W_T} $ ， 作為 $ W_T $ 是均值為 0 和標準差的高斯隨機變數 $ \sqrt{T} $ . 然後， $ E[e^{\lambda W_T}] = e^{\lambda^2 \times T/2} $
導出 rhs 表達式一次 $ \lambda $ 給 $ 2\lambda\frac{T}{2} \times e^{\lambda^2 \frac{T}{2}} $ .
最後，觀察到 $ E[W_T e^{W_T}] $ 對應的推導 $ E[e^{\lambda W_T}] $ 評估在 $ \lambda=1 $ , 我們可以得出結論 $ E[W_T e^{W_T}] = Te^{T/2} $
請注意 $$ e^{W^{Q}(T)} $$看起來幾乎像 Doleans 指數 $$ e^{W^{Q}(T)-\frac{1}{2}T} $$ 所以 $$ E^Q[W^{Q}(T)e^{W^{Q}(T)}]=E^Q[W^{Q}(T)e^{W^{Q}(T)}]e^{-\frac{1}{2}T}e^{+\frac{1}{2}T} $$ $$ =E^Q[W^{Q}(T)e^{W^{Q}(T)-\frac{1}{2}T}]e^{\frac{1}{2}T} $$ 我們現在定義新的機率測度 $ \bar{Q} $ 通過 Radon Nikodym 導數： $$ \frac{{d\bar{Q}}}{dQ}=e^{W(T)-\frac{1}{2}T} $$ 在下面 $ \bar{Q} $ 措施$$ W^{\bar{Q}}(t)=W^{Q}(t)-t $$是布朗運動。所以： $$ E^Q[W^{Q}(T)e^{W^{Q}(T)-\frac{1}{2}T}]e^{\frac{1}{2}T}=E^{\bar{Q}}[W^{\bar{Q}}(T)+T]e^{\frac{1}{2}T}=Te^{\frac{1}{2}T} $$