如何證明∫噸0在2sd在小號=13在3s−∫噸0在sds∫0噸在s2d在s=13在s3−∫0噸在sdsint_0^t W_s^2dWs = frac{1}{3}W_s^3 - int_0^t W_s ds使用伊藤公式？

請幫我解決這個問題。

正如@SRKX 建議的那樣，下面提供了完整的答案。

（一種）。使用伊藤引理

$$ \begin{align*} d\left(W_t^3\right) &= 3W_t^2 dW_t +3W_t dt. \end{align*} $$ 兩邊積分，我們得到 $$ \begin{align*} W_t^3 = 3\int_0^t W_s^2 dW_s +3\int_0^t W_s ds. \end{align*} $$ 最後， $$ \begin{align*} \int_0^t W_s^2 dW_s = \frac{1}{3}W_t^3 -\int_0^t W_s ds. \end{align*} $$ (b)。注意

$$ \begin{align*} df(t, W_t) = \frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial W_t^2} dt. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} dX_t &=-\frac{1}{(t+W_t)^2}dt -\frac{1}{(t+W_t)^2}dW_t +\frac{1}{(t+W_t)^3}dt\ &=(-X_t^2+X_t^3)dt -X_t^2 dW_t. \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/22130