縮放對稱隨機遊走背後的直覺
我正在閱讀 Shreve (2008) 中的一節，我們正在縮小步長，但加快對稱隨機遊走的時間，因此在極限情況下，我們會產生布朗運動。
我了解這個過程，但我想了解 1 美元投注故事設置的直覺。
以下直覺正確嗎？
考慮在擲硬幣時下注 1 美元，如果正面你贏一美元，否則你輸一美元。該隨機變數的累積增益是對稱隨機遊走。我們希望加快時間並縮小尺寸，以便
$$ W^{(n)}(t)=\frac{1}{\sqrt{n}}M_{nt}. $$
例如，考慮 $ t=4,n=100. $ 如果沒有縮放，您將翻轉 4 次，但使用縮放後，您將在 4 秒內翻轉 400 個硬幣。同樣，對於每次翻轉，您的上下注將是 1 美元，因為這就是下注的定義方式，但是隨著縮放，您的下注現在變為 10 美分。
參考：
Shreve, Steven E. $ \textit{Stochastic Calculus for Finance II : Continuous-Time Models} $ . 斯普林格，2008。
如果您將 t 解釋為以年為單位的時間，則更容易。因此，假設 t=4 年。
如果你回想一下最終結果，剩下的就更容易了，我們希望這個縮放的隨機遊走接近標準布朗量，它的均值為零，變異數為 t（將其視為從時間 0 到 t=4 的間隔）。
我們正在重複獨立且相同的拋硬幣遊戲，其中硬幣是無偏的。現在要獲得所需的均值和變異數，下注大小必須與步數相關。對於一個步驟，意味著 4 年的步長，如果我們將賭注大小設置為 2，那麼根據需要，均值將為零，變異數將為 4。這2與步長有關： $ \Delta t=\frac{4}{1} $ ，一般來說，假設 m 代表步數是 $ \Delta t=\frac{t}{m} $ . 所以下注大小是平方根 $ \Delta t $ .
現在，如果您將步數增加到 100，且 t=4 相同，那麼下注大小將是： $ \sqrt{\Delta t}=\sqrt{\frac{t}{m}} =\sqrt{\frac{4}{100}}=\sqrt{\frac{1}{25}} $ . 然後均值為零，因為每個博弈的均值為零，並且獨立且相同博弈之和的變異數等於變異數之和，因為同質性是 $ 100*\frac{1}{25}=4 $
在 Shreve 的設置中，t 的每個單位被細分為 n 步，所以我們的 m=n*t; 他的t=4和n=1，相當於m=4，你會拋硬幣4次，每次設置下注大小等於 $ \sqrt{\frac{t}{m}}=1 $ . 對於 t=4，n=100，你有 m=400，下注大小為 $ \sqrt{\frac{t}{m}}=\sqrt{\frac{4}{400}}=0.1 $