隨機演算
鞅表示定理的直覺
您能否
Martingale Representation Theorem以非技術性的方式解釋它是什麼以及為什麼需要它？到目前為止，我學習的大部分內容都非常技術性，我未能掌握潛在的直覺。
讓我說出我作為前電氣工程師的直覺。這將是非常草率的。
假設您有一個帶增量的布朗運動（或 EE 語言中的“雜訊項”） $ dB_t $ . 顯然，您可以通過整合這些雜訊項來生成鞅 $ B_t=\int_0^tdB_t $ . 但是您也可以通過改變應用相同增量的“幅度”來生成其他鞅 $ M_t=\int_0^t A(t)dB_t $ . 這類似於在播放音樂時更改收音機的音量 A(t)，您會從相同的聲音中獲得“不同的音樂”。您甚至可以通過添加控制期望值的“水平”項來生成不是鞅的隨機過程 $ X_t= L(t)+\int_0^t A(t)dB_t $ . 例如，如果 $ L(t)=\sin(\omega t+\phi) $ 你可以得到一個上下波動的過程（季節性），或者如果 $ L(t)=k t $ （線性趨勢）你可以得到一個隨時間上升的亞鞅。
鞅表示定理說，確實你可以通過這種方式得到一大類隨機過程（從 $ dB(t) $ ，以時變方式對其進行集成並添加外部可預測輸入）。您唯一無法獲得的是病理情況，例如不適應相同過濾的過程，即完全依賴於一組不同的隨機事件。精確的技術條件當然非常重要，我將它們排除在外。但關鍵是許多有趣的過程可以以這種方式分解（“表示”）（積分 $ dB_t $ 加上其他東西）。