隨機積分的伊藤公式
假設我有
$$ dS_t = \mu(S_t,t) dt + \sigma(S_t,t)dW_t $$ 滿足以下過程的過程是什麼 $ y_t $ ? $$ y_t = \int_0^t S_u du + \int_0^t S_u dW_u $$ 我不太確定如何區分 $ y_t $ . 以下是我所做的
$$ \frac{\partial y_t}{\partial S_t} =dt +dW_t $$ 和 $$ \frac{\partial^2 dy_t}{\partial dS_t^2} = 0 $$ 這些對嗎？然後伊藤公式給出
$$ dy_t = (dt+dW_t)dS_t = \sigma(S_t,t)dt $$ 但這感覺不對。
隨機微分方程只不過是對應積分方程的簡寫符號。所以你提供的初始 SDE實際上意味著
$$ \int_0^t d S_u = \int_0^t \mu(S_u, u) du + \int_0^t\sigma(S_u, u) dW_u $$ 這就是定義SDE 的方式（參見例如此處）。原因是您無法區分佈朗運動。根據微積分的通常定義（取極限等），它沒有導數。
像 $ \frac{\partial y}{\partial S_t} $ 只是在隨機微積分的世界中沒有意義。
好的，所以，回到你的等式。請注意，它可以寫成：
$$ \int_0^t dy_u = \int_0^t S_u du + \int_0^t S_u dW_u $$ 和 $ y_0 = 0 $ . 然後通過去除積分符號簡單地獲得相應的SDE：
$$ dy_t = S_t dt + S_t dW_t $$ 就是這樣！為什麼？好吧，再一次，因為這個 SDE 實際上被定義為相應的積分方程。沒有對應的微分方程涉及實際的導數。