不清楚 YouTube 上的 SDE 解決方案範例

這段影片，大約 6 到 12 分鐘： https ://youtu.be/qdbkvD4N-us

我覺得我跟著他沒問題，但最後他的 f(t,B(t)) 變成了 f(t,x) 並且他的結果中沒有 B(t)，所以看起來突然確定？如果他犯了一個錯誤，我將不勝感激，或者如果有人可以向我解釋我應該如何理解人們在某個 X t 時所期望的隨機性

所以為了大家的利益，這是一個MIT OCW影片21.Stochastic Differential Equation，教授在講解GBM SDE的解法：

$ dX(t)=\mu X(t)dt+\sigma X(t)dB(t) $

他猜測了以下形式的解決方案：

$ X(t)=f\left(t,B(t)\right) $

然後應用伊藤引理等，然後將解決方案寫為：

$ f(t,X)=X_0 e^{\sigma X +\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t} $

所以似乎 X 有兩種不同的含義，這就是問題的背景。解決方案確實應該是：

$ X(t)=f\left(t, B(t)\right)=X_0 e^{\sigma B(t) +\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2 \right)t} $

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/46877