獲取隨機模型解的特徵
我想使用以下隨機模型
$$ \frac{\mathrm{d}S_{t}}{ S_{t}} = k(\theta - \ln S_{t}) \mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W_{t}\quad (1) $$ 使用變數的變化 $ Z_t=ln(S_t) $
我們得到以下 SDE
$$ \mathrm{d}Z_{t} = k(\theta - \frac{\sigma^2}{2k} - Z_{t}) \mathrm{d}t + \sigma\mathrm{d}W_{t}\quad (2) $$ 我們再次改變變數 $ X_t=e^{kt}Z_t $
我們得到以下 SDE
$$ \mathrm{d}X_t = k(\theta -\frac{\sigma^2}{2k})e^{kt}\mathrm{d}t + \sigma e^{kt}\mathrm{d}W_{t} \quad (3) $$ 最後一個方程可以很容易地積分，我們看到
$$ (X_{t+1}-X_t)\sim N(\mu, \sigma) $$ 我的問題是：我怎樣才能得到分佈 $ \frac{S_{t+1}-S_{t}}{ S_{t}} $ ? （至少它在過濾下的期望和標準偏差 $ F_t $ )
如果我們回到第一個方程，它接縫如果 $ \mathrm{d}t $ 足夠小，則它是具有均值的正態分佈 $ k(\theta - \ln S_{t}) \mathrm{d}t $ 和sd $ \sigma\mathrm{d}t $ ，但我想在數學上找到它是否為真，如果是，在什麼假設下。
自從 Berr4All 表明您的方程式是正確的以來，我已經編輯了我的答案。
您仍然可以做的是使用Fokker-Planck 方程來推導密度。
- 1 ) 一階泰勒展開式給出 $ \ln \left(\frac{S_{t+\Delta_t}}{S_t}\right)\approx \frac{S_{t+\Delta_t}-S_{t}}{S_t}+o(\Delta_t) $ , 因此除非 $ \Delta_t $ 不小可以去掉殘差考慮 $ Z_t\overset{law}{=}\frac{S_{t+\Delta_t}-S_{t}}{S_t} $ .
- 2）矩的計算：我們可以使用經典的Dynkin方式進行
我們提醒您 $ dZ_t=k(\theta-\frac{\sigma^2}{2k}-Z_t)dt+\sigma dW_t $ ， 所以
$ d(Z_t^p)\overset{Itô}{=}p\cdot(Z_t)^{p-1}dZ_t+\frac{\sigma^2}{2}dt = \left(\frac{\sigma^2}{2}+ Z_t^{p-1}\cdot{pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k})-Z_t^p\cdot pk} \right)dt+p\sigma Z_t^{p-1}dW_t $
帶著期待，
$ E\left( Z_t^p \right)=E\left( Z_0^p \right)+\int_0^t\left(\frac{\sigma^2}{2}+ E(Z_s^{p-1})\cdot{pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k})-E(Z_s^p)\cdot pk} \right)ds $
最後：
$ E\left( Z_t^p \right)=E\left( Z_0^p \right)+\frac{\sigma^2}{2}t+pk(\theta-\frac{\sigma^2}{2k}) \int_0^t E(Z_s^{p-1})ds-pk \int_0^tE(Z_s^p)ds $
所以，你的 p-時刻是上述確定性 ODE 的解決方案，可以逐步解決 $ p=1 $ .
- 3）產量的精確分佈：一般來說，獲得擴散的精確分佈/模擬非常簡單（對於多維 SDE 來說更是如此——例如：Heston 的聯合 SDE 有一個精確的 pdf，其計算需要 Malliavin 演算）。
因此，在我看來，除非您正在考慮具有大時間步長的模擬，否則處理 SDE 的精確分佈是沒有用的。