請幫我解決這個雙指數分佈的問題
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自從 $ f_X(x) > 0 $ 和
$$ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1, \end{align*} $$ $ f_X(x) $ 是一個有效的密度函式。 讓
$$ \begin{align*} \varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align*} $$ 是標準正態隨機變數的密度函式。我們定義度量 $ \widetilde{P} $ 使用 Randon-Nykodim 導數 $$ \begin{align*} \frac{d\widetilde{P}}{dP} = \frac{\varphi(X)}{f_X(X)}. \end{align*} $$ 然後， $$ \begin{align*} \widetilde{P}(X \leq x) &= E_{\widetilde{P}}(1_{X \le x})\ &=E_P\left(\frac{d\widetilde{P}}{dP} 1_{X \le x} \right)\ &=E_P\left(\frac{\varphi(X)}{f_X(X)} 1_{X \le x} \right)\ &=\int_{-\infty}^x \frac{\varphi(x)}{f_X(x)} f_X(x) dx\ &=\int_{-\infty}^x \varphi(x) dx. \end{align*} $$ 那是， $ X $ 是標準正常的措施 $ \widetilde{P} $ . 等價如下，因為
$$ \begin{align*} \frac{dP}{d\widetilde{P}} = \frac{f_X(X)}{\varphi(X)}. \end{align*} $$