理解隨機 DGL 等式的問題
目前，出於自學原因，我正在閱讀一篇名為“半鞅財務模型中非線性回撤約束下的投資組合優化”的論文。該論文可以在這裡找到：http: //arxiv.org/abs/1110.6289
在那裡，我發現了一個我不明白的方程式。
在第 7 章中，作者試圖計算一個財富過程。
財富程序 $ X_t $ 滿足以下 SDGL
$$ dX_t = (X_t - w(\bar{X_t}))\frac{dV_t}{V_t}, (1) $$因為在第 7 章中，一切都是連續的。 過程 $ V_t $ 滿足以下方程
$$ dV_t=\pi_tdS_t := \sum{\pi_t^i}dS_t^i , (2) $$ 對於一個可逆的 $ \pi_t $ 和一個 d-dim 半鞅 $ S_t $ SDGL 為每個 $ i $ $$ dS^i_t = S^i_t(\mu^i_t dt+\sum\sigma^{ij}_t dW^j_t) , $$ 在哪裡 $ W_t = (W^1_t,\dots,W^d_t) $ 是一個 d-dim Wiener 過程。現在作者聲稱通過堵塞 $ (2) $ 在 $ (1) $ 他們獲得： $$ dX_t = (X_t - w(\bar{X_t}))\sum\pi^i_t\frac{dS_t^i}{S^i_t} , (3) $$ 在哪裡 $ \pi^i_t = (\frac{1}{1-\gamma(1-\alpha)}\theta’_i\sigma^{-1}_t)^i $ . 我認為的確切形式 $ \pi_i $ 沒關係，只是它是可逆的。 我的問題是：作者是如何想出的 $ (3) $ ? 我這樣做的方式是：
$$ dX_t = (X_t - w(\bar{X_t}))\sum\pi^i_t\frac{dS_t^i}{V_t} . $$ 可惜只有 $ (3) $ 似乎與文獻一致（可以找到類似的解決方案 $ (3) $ 在“關於“回撤”約束下的投資組合優化” http://www.math.columbia.edu/~ik/Drawdown.pdf）。我究竟做錯了什麼？
我沒有讀完所有的論文，只是你提到的部分。可預見/可預測的策略 $ \pi_t $ 代表資產的股份數量 $ S $ 當時舉行 $ t $ . 該論文看起來以某種方式使用電力工具，並且在這些類型的問題中很常見，通常你想要考慮 $ \tilde{\pi}_t $ ，這是當時財富的百分比 $ t $ 持有的風險資產。
朝向 p 的底部。21，你可以看到他們定義
$$ \tilde{\pi}_t := \pi_t S_t / V_t. $$ 使用 $ \tilde{\pi}_t $ 代替 $ \pi_t $ 我相信可以解決您的問題。此外，第 22 頁上的等式（22）。圖 22 表明最優 $ \tilde{\pi} $ 有你上面描述的形式。