證明FFf是連續的當且僅當它具有 0 二次變化？
我明白那個 $ f $ 連續的 $ \Rightarrow Q(f) = 0 $ 這是在有界區間上定義的
$$ 0,T $$那麼我們可以使用一致連續性和中值定理。但我不確定如何顯示相反的含義？
這種說法並不完全正確。布朗運動具有連續的樣本路徑但不是零二次變化。實際上， $ [B_t]=t $ ，它是有限但無界的。布朗運動的樣本路徑具有無限變化，這就是為什麼我們首先需要Itô積分而不能簡單地使用Riemann-Stieltjes積分。
你需要 $ f $ 是有界變化的，例如，如果 $ f $ 是平滑的，這意味著有界的變化。在這種情況下，連續性和有界變化意味著零二次變化。
基本上，你需要一個分區 $ (t_j){j=1,…,n} $ 的 $ [0,T] $ 並觀察到 $$ \begin{align*} \sum{j=1}^n |f(t_j)-f(t_{j-1})|^2 &= \sum_{j=1}^n |f(t_j)-f(t_{j-1})||f(t_j)-f(t_{j-1})|\ &\leq \sup_{j=1,…,n}|f(t_j)-f(t_{j-1})|\cdot\sum_{j=1}^n |f(t_j)-f(t_{j-1})| \ &= \sup_{j=1,…,n}|f(t_j)-f(t_{j-1})|\cdot V_T(f), \end{align*} $$ 在哪裡 $ V_T(f) $ 是的變化 $ f $ 超過 $ [0,T] $ . 的連續性 $ f $ 暗示 $ f $ 在緊集上一致連續 $ [0,T $ ] 並且對於更精細的分區，上確界收斂到零。如果 $ V_T(f) $ 是有界的，那麼 $ f $ 也趨於零。
直接暗示是不正確的。功能
$$ f(x) = \left{\matrix{x^2\sin\left(\frac{1}{x^4}\right) & x \not= 0\0 & x = 0}\right. $$
是連續的，但它在區間上的二次變化 $ [0,1] $ 非零。你可以在這裡找到一個證明。