二次變分題
在這裡我有這個問題
(i) 陳述伊藤公式
(ii) 因此或以其他方式表明
$ \int^t_0B_s dB_s = \dfrac{1}{2}B^2_t -\dfrac{1}{2} t $
(iii) 定義二次變化 $ Q(t) $ 布朗運動
$$ 0,t $$， 鑑於 $ Q(t) = t $ , 用這個結果證明 (ii) 我可以做所有事情，直到（iii）的最後一點，二次變分如何告訴你這種關係？
免責聲明：這不是家庭作業。我正在嘗試幫助一位朋友準備考試，這是過去的紙質問題。
“喜歡它：
$$ d (B^2) = B dB + B dB + dB dB $$ 那是
$$ B dB = \frac{1}{2} d (B^2) - \frac{1}{2} dB dB $$ 整合。最後一項是二次變化的 1/2。
我對問題的理解如下：在 iii) 中，必須定義什麼 $ dB dB $ 代表，必須“證明”我回答中的第一行。在 ii) 中，人們可以使用 Ito 來“知道” $ dB dB = dt $ .
我從 Shreve 那裡挑選了這個。
從採樣二次變分的定義開始： ( 1 ) $ \frac{1}{2}Q_\pi = \frac{1}{2}\sum\nolimits_{j=0}^{n-1} (W_{j+1}) - W_j)) ^2 $ 在哪裡 $ \pi $ = {0,1,2…,n} 是 $ [0,T] $ （注意我們採取了 $ \frac{1}{2} $ 雙方的原因將在下一行中清楚。）現在我們知道*（1）*等於 $ \frac{T}{2} $ , 但我們也通過簡單的代數知道
(1) = $ \frac{1}{2}W_n^2 + \sum\nolimits_{j=0}^{n-1} W_j(W_j - W_{j+1}) $ .
剩下的就是顯示結果是嚴格的，因為我們用一個收斂於極限的離散版本來逼近布朗運動 $ n \to \infty $ ; 我們還用和來逼近 ito 積分，它們也收斂到極限。將把這個留給你進一步解決。同樣，如果您沒有 Shreve 的優秀文章，請參考 Shreve 的筆記（Google搜尋：steve shreve notes）