Quanto/Compo 調整 - 兩個幾何布朗運動的乘積
假設我有兩個程序 $ X_t =X_0 \exp((a-\frac{1}{2}\sigma_X^2)t +\sigma_X dW_t^1) $ 和 $ Y_t=Y_0 \exp((b-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t +\sigma_Y dW_t^2) $ 然後我將它們相乘（例如將外國資產轉換為本國貨幣）。我到達
$ X_tY_t = X_0Y_0 \exp((a+b-\frac{1}{2}\sigma_X^2-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t +\sigma_X dW_t^1+\sigma_Y dW_t^2) $
如果我假設 $ W_t $ 有相關性 $ \rho $ ，我將如何獲得期望 $ X_tY_t $ . 困擾我的事情是因為我有 2 個布朗運動，我不知道如何從那裡計算。
編輯： 我想讓這個問題更籠統一點。如果我想計算我會怎麼做 $ E[X_t Y_s] $ , 在哪裡說 $ s < t $ . 所以與獨立增量有關的事情會起到一個因素。
只需使用以下事實
$$ \sigma_X W_t^1 + \sigma_Y W_t^2 = \sqrt{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y } W_t $$ 假設機率成立 $ W_t^1 $ 和 $ W_t^2 $ 是 2 個相關的布朗運動 $$ d\langle W_t^1, W_t^2 \rangle_t = \rho dt $$ 和 $ W_t $ 是在相同機率空間上定義的新標準布朗運動。 簡而言之，只需將兩個相關高斯（上面的 LHS）的總和替換為表現出完全相同的統計特性的單個高斯（上面的 RHS）（對於高斯相同的均值/變異數就足夠了）。這樣做，您現在可以使用您習慣的公式。
應用這個顯示
$$ X_t Y_t = X_0Y_0 \exp((a+b-\frac{1}{2}\sigma_X^2-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t +\sqrt{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y } W_t) $$ 是對數正態分佈，均值 $$ \mu = \ln(X_0Y_0)+(a+b-\frac{1}{2}\sigma_X^2-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t $$ 和變異數 $$ \sigma^2 = (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y)t $$ 因此應用對數正態分佈變數均值的常用公式
$$ E[X_t Y_t] = e^{\mu + \sigma^2/2} $$ 是一個函式 $ \rho $ .
$$ Edit $$
我認為您完全混淆了兩個不同的問題（這裡是兩個不同的機率度量）。
我從您的評論中了解到，您定義了 FOR/DOM 瞬時匯率的動態 $ X_t $ （IE $ X_t = x $ 意思是，有時 $ t $ , 1 單位外幣 = x 單位本幣）在外國風險中性措施下 $ \mathbb{Q}^f $ （或者更確切地說是機率空間 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{Q}^f) $ 以及以外幣計價的標的股票的價格過程。
在這種情況下，在國內風險中性措施下 $ \mathbb{Q}^d $ （或者更確切地說是機率空間 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{Q}^d) $ )，由於沒有套利機會並假設市場完整，人們應該有：
$$ \frac{Y_t X_t}{B_t^d} \text{ is a } \mathbb{Q}^d \text{- martingale} $$ 和 $ B^d_t $ 代表時間—— $ t $ 在國內經濟中投資 1 單位貨幣的無風險貨幣市場賬戶價值 $ t=0 $ . 使用鞅屬性，它需要：
$$ \frac{Y_0 X_0}{B_0^d} = Y_0 X_0 = E^{\mathbb{Q}^d} \left[ \frac{Y_t X_t}{B_t^d} \vert \mathcal{F}_0 \right] $$ 並進一步假設確定性利率： $$ E ^{\mathbb{Q}^d} \left[ X_t Y_t \vert \mathcal{F}_0 \right] = e^{-r_d t} X_0 Y_0 $$ 獨立於 $ \rho $ . 這在衍生術語中稱為組合調整。
話雖如此，在措施下 $ \mathbb{Q}^f $ 您最初定義的位置 $ X_t $ 和 $ Y_t $ ,期望 $ E^{\mathbb{Q}^f} [ Y_t X_t ] $ 確實依賴於 $ \rho $ 如上所示。
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