使用電腦解決數量金融中的路徑積分問題

我在 Physics SE 上問過這個問題，但我認為有些部分更適合在這裡問。所以我再次改寫這個問題。

我們知道，對於期權價值計算，路徑積分是解決它的一種方法。但是我從 Black-Scholes 公式中得到的解決方案（來自上述問題）：

$$ \begin{array}{rcl}\mathbb{E}\left[ F(e^{x_T})|x(t)=x \right] & = & \int_{-\infty}^{+\infty} F(e^{x_T}) p(x_T|x(t)=x) dx_T \ & = & \int_{-\infty}^{+\infty} F(e^{x_T}) \int_{\tilde{x}(t)=x}^{\tilde{x}(T)=x_T} p(x_T|\tilde{x}(\tilde{t})) p(\tilde{x}(\tilde{t})|x(t)=x) d\tilde{x}(\tilde{t}) dx_T \end{array} $$ 非常神秘，在電腦上根本無法使用。

我的問題是，我們如何編寫這個解決方案？或者更一般地說，我們如何設計電腦算法來解決量化金融中的路徑積分問題？

有許多數值方法可以解決上述的隨機積分。假設沒有封閉形式的輕手，最簡單的方法是蒙地卡羅方法。我建議參考 Glasserman 出色的“金融工程中的蒙地卡羅方法”

如果您不熟悉 MC，請將其視為在 N 維空間（隨機變數 x 時間的空間）中評估數百萬條可能的路徑，並根據機率加權平均值計算期望值。

讓 MC 為您服務包括：

• 準確地為您的分佈建模
• 能夠在模擬中隨機抽樣您的分佈，以便對其累積機率函式進行均勻抽樣
• 具有良好的隨機 N 維數生成器，週期 > 樣本總數
• 減少所需樣本空間的各種技巧

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/212