維納過程的平方

在伊藤的微積分中，經常出現 $ dW^2=dt $ . 這是怎麼回事？它與米爾斯坦方法有什麼關係？

一般來說 $ dX^2 $ 是一種特殊的或啟發式的形式 $ d\langle X, X\rangle_t $ ， 在哪裡 $ \langle X, X\rangle_t $ 是二次變化，定義為

$$ \begin{align*} \langle X, X\rangle_t = \lim_{\pi\rightarrow 0} \sum_{i=1}^n (X_{t_i}-X_{t_{i-1}})^2. \end{align*} $$ 這裡， $ 0=t_0 < \cdots < t_n = t $ ， 和 $ \pi = \max{ t_i-t_{i-1}, i=1,\ldots, n} $ . 對於布朗運動 $ {W_t, t \ge 0} $ , 可以證明 $ \langle W, W\rangle_t = t $ . 所以

$$ \begin{align*} dW^2 = d\langle W, W\rangle_t = dt. \end{align*} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/26221