隨機微積分重新調整練習
我有以下 SDE 系統
[Math Processing Error] $ dA_t = \kappa_A(\bar{A}-A_t)dt + \sigma_A \sqrt{B_t}dW^A_t \ dB_t = \kappa_B(\bar{B} - B_t)dt + \sigma_B \sqrt{B_t}dW^B_t $
如果 $ \sigma_B > \sigma_A $ 我會考慮波動性[Math Processing Error] $ B_t $ 比[Math Processing Error] $ A_t $ 因為
$ d\langle A_\bullet\rangle_t = \sigma_A^2 B_t dt $ 和 $ d\langle B_\bullet\rangle_t = \sigma_B^2 B_t dt $
現在，如果我重新調整過程[Math Processing Error] $ B $ 經過[Math Processing Error] $ \sigma_A^2 $ 並定義[Math Processing Error] $ \sigma_A^2B =\tilde{B} $ , 我得到了 SDE 的等效系統
[Math Processing Error] $ dA_t = \kappa_A(\bar{A}-A_t)dt + \sqrt{\tilde{B}_t}dW^A_t \ d\tilde{B}_t = \kappa_B(\sigma_A^2\bar{B} - \tilde{B}_t)dt + \sigma_A\sigma_B \sqrt{\tilde{B}_t}dW^B_t $
但現在聲稱“如果 $ \sigma_B > \sigma_A $ 我會考慮波動性[Math Processing Error] $ \tilde{B}_t $ 比[Math Processing Error] $ A_t $ " 不再成立。考慮 $ 1>\sigma_B>\sigma_A $ 和
[Math Processing Error] $ d\langle A_\bullet\rangle_t = \tilde{B}t dt $ 和[Math Processing Error] $ d\langle \tilde{B}\bullet\rangle_t = \sigma_A^2\sigma_B^2 \tilde{B}_t dt $ .
在這種情況下，波動率[Math Processing Error] $ \tilde{B} $ 的[Math Processing Error] $ A $ 比[Math Processing Error] $ A $ 除非 $ \sigma_A^2\sigma_B^2>1 $ ，這與上述條件完全不同（即， $ \sigma_B > \sigma_A $ ).
什麼地方出了錯？回調中是否有錯誤？
Loxol 的回答是正確的。只要你改變你的尺度，你的狀態也會改變，你不能再假設 $ \sigma_b>\sigma_a $ 因為您還需要修改您的條件以匹配您重新調整的新流程。Loxol 已經給出了建構新條件的方法。
正如你提到的 $ \sigma_b>\sigma_a $ 只為[Math Processing Error] $ B_t $ 和[Math Processing Error] $ A_t $ ，這不能轉移到新程序。考慮[Math Processing Error] $ \sigma_b^2=1/2 $ 和[Math Processing Error] $ \sigma_a^2=1/4 $ ,[Math Processing Error] $ B_t $ 比[Math Processing Error] $ A_t $ . 然而，[Math Processing Error] $ \tilde B_t $ 擁有[Math Processing Error] $ 1/8 $ , 這不是 necassary volatile 比[Math Processing Error] $ A_t $ .
這是由於通過乘以改變波動率結構引起的[Math Processing Error] $ \sigma_A^2 $ . 如果 $ \sigma_A^2>1 $ ，你強調的波動性 $ B_t $ 並且對於 $ \sigma_A^2<1 $ ，你減少了波動性。僅有的 $ \sigma_A^2=1 $ 波動率結構保持不變，您的條件 $ \sigma_b>\sigma_a $ 可以轉移到[Math Processing Error] $ \tilde B_t $ . 問題是，如果你選擇 $ \sigma_A^2 $ <1，您正在減少波動性[Math Processing Error] $ \sigma_b $ 你不能使用 $ \sigma_b>\sigma_a $ 為了[Math Processing Error] $ \tilde B_t $ . 因此你的假設是 $ \sigma_b>\sigma_a $ 暗示[Math Processing Error] $ \tilde B_t $ 比 $ A_t $ 一般是錯誤的。
如果 $ \sigma_B > \sigma_A $ , $ B_t $ 比 $ A_t $ . 現在你定義 $ \tilde{B_t}:=\sigma_A^2B_t $ . 的波動性 $ \tilde{B_t} $ 等於波動率 $ {B_t} $ 乘以 $ \sigma_A^2 $ . 因此你可以認為如果 $ \sigma_A^2\sigma_B > \sigma_A $ ,[Math Processing Error] $ \tilde{B_t} $ 比[Math Processing Error] $ A_t $ . $ \sigma_A^2\sigma_B > \sigma_A \leftrightarrow \sigma_A\sigma_B > 1 $