Stratonovich 積分和伊藤引理
讓 $ (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P},{\mathcal{F}}t) $ 是一個過濾的機率空間和 $ W_t $ 是標準的維納過程。我想顯示stratonovich積分 $ W_t $ ， IE $ \int{0}^{t} W_s ○ dW_s $ , 不是伊藤引理的鞅。
謝謝。
這非常出名， $ W_t $ 是一個持續的、適應的和局部有界的過程。讓 $ I={t_i}_{i=0}^{n} $ 是一個分區序列 $ [0,t] $ ， 的確 $ 0=t_0<t_1<\cdots<t_n=t $ .根據stratonovich積分的定義，我們有
$$ \int_{0}^{t} W_s\circ dW_s=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\sum_{i=0}^{n-1}(W(t_{i+1})+W(t_i))(W(t_{i+1})-W(t_i)) $$ $$ \int_{0}^{t} W_s\circ dW_s=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\sum_{i=0}^{n-1}(W^2(t_{i+1})-W^2(t_i))\quad(\operatorname{Telescoping series }) $$ $$ \int_{0}^{t} W_s\circ dW_s=\frac{1}{2}\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}(W^2(t_n)-W^2(t_0)) $$ 所以 $$ \int_{0}^{t} W_s\circ dW_s=\frac{1}{2}(,W^2(t)-W^2(0),)=\frac{1}{2}W_t^2\quad (\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}W(t_n)=W(t)) $$ 因此
$$ \int_{0}^{t} W_s\circ dW_s=\frac{1}{2}W_t^2 $$
現在使用 Ito 引理。