交換期權的波動性
我得到了一個問題及其部分解決方案，對其幾何布朗運動過程的波動性有一些疑問：
問題：
您如何為支付的交換看漲期權定價 $ max(S_{T,1}-S_{T,2},0) $ 在成熟時。假使，假設 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 是非股息支付股票，並且都遵循具有相關性的幾何布朗運動 $ \rho $
解決方案：
交換期權的收益取決於兩者 $ S_{T,1}, S_{T,2} $ ，所以我們需要兩個幾何布朗運動：
$ dS_1 = \mu_1S_1dt+\sigma_1S_1dW_{t,1} $ $ dS_2 = \mu_2S_2dt+\sigma_2S_2dW_{t,2} $
然而，如果我們使用 $ S_1 $ 作為計價器，我們可以將問題轉化為一個幾何布朗運動。最後的回報是 $ max(S_{T,1}-S_{T,2},0)=S_{T,1}max(S_{T,2}/S_{T,1}-1,0) $ . 什麼時候 $ S_{T,1} and S_{T,2} $ 是幾何布朗運動， $ f=S_{T,2}/S_{T,1} $ 也是幾何布朗運動。更嚴格地說，我們可以將 Ito 引理 $ f=S_{T,2}/S_{T,1} $ :
$ df = \frac{\partial f}{\partial S_1}dS_1+\frac{\partial f}{\partial S_2}dS_2+0.5*\frac{\partial^2 f}{\partial S_1^2}dS_1^2+0.5*\frac{\partial^2 f}{\partial S_2^2}dS_2^2+\frac{\partial^2 f}{\partial S_1\partial S_2}dS_1dS_2=(\mu_2-\mu_1+\sigma_1^2-\rho\sigma_1\sigma_2)fdt - \sigma_1fdW_{t,1}+\sigma_2fdW_{t,2} = (\mu_2-\mu_1+\sigma_1^2-\rho\sigma_1\sigma_2)fdt+\sqrt{\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_1^2}fdW_{t,3} $
所以這是我的疑問，為什麼 $ - \sigma_1fdW_{t,1}+\sigma_2fdW_{t,2} = \sqrt{\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2+\sigma_1^2}fdW_{t,3} $ 持有？
定義流程$$ X_t=\frac{1}{\sqrt{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}}\left(\sigma_2W_{t,2}-\sigma_1W_{t,1}\right) $$ 它是鞅，因為它是鞅的線性組合。
計算 $ d<X_t,X_t> $ $$ d<X_t,X_t>=\frac{1}{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}\left(\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2\right)dt=dt $$
通過 Levy 對布朗運動的表徵， $ X_t $ 是布朗運動，我們重命名它$$ X_t=W_{t,3} $$
最後，區分第一個問題
$$ \sqrt{\sigma_2^2+\sigma_1^2-2\rho\sigma_1\sigma_2}dW_{t,3}=\left(\sigma_2dW_{t,2}-\sigma_1dW_{t,1}\right) $$