幾何 Ornstein-Uhlenbeck 過程的平均值和標準差是多少？
我不確定如何計算以下幾何 Ornstein-Uhlenbeck 過程的均值和變異數。
$$ d X(t) = a ( L - X_t ) dt + V X_t dW_t $$ 是否有人能夠計算此過程的均值和變異數，並包括解決方案的計算？
好的，我將採用 Jase 的答案並正確格式化它，以便它回答您的問題，並且將來對使用者有用。
為清楚起見，讓我使用更常見的符號重述修正的 Ornstein-Uhlenbeck模型的動力學：
$$ dS_t = \theta (\mu-S_t)dt + \sigma S_t dW_t $$ 這篇博文提供了一個封閉形式的解決方案：
$$ S_t = S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t)) $$ 在哪裡 $ \alpha=\theta+\frac{1}{2} \sigma^2 $ .
首先，期望：
$$ \mathbb{E}[S_t] = \mathbb{E}[ S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))] $$ $$ \mathbb{E}[S_t] = \mathbb{E}[ S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t)] + \mathbb{E}[\frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))] $$ $$ \mathbb{E}[S_t] = S_0 \mathbb{E}[\exp(- \alpha t + \sigma W_t)] + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t)) $$ 現在，請注意 $ \exp(- \alpha t + \sigma W_t) $ 可以表示為 $ \exp(- \alpha t + \sigma \sqrt{t} Z) $ （和 $ Z \sim \mathcal{N}(0,1) $ ) 手是對數正態分佈的： $ \sim \ln \mathcal{N} (-\alpha t, \sigma^2 t) $ ，因此您可以對均值和變異數應用對數正態分佈的公式。
$$ \mathbb{E}[\exp(- \alpha t + \sigma \frac{1}{\sqrt{t}} Z)]= \exp(- \alpha t + \frac{1}{2} \frac{\sigma^2}{t}) $$ 所以，我們得到
$$ \mathbb{E}[S_t] = S_0 \exp(- \alpha t + \frac{1}{2} \sigma^2 t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t)) $$ 現在對於變異數：
$$ Var[S_t]= Var[S_0 \exp(- \alpha t + \sigma W_t) + \frac{\theta \mu}{\alpha} (1+ \exp(-\alpha t))] $$ 由於第二項是常數，我們得到：
$$ Var[S_t]= Var[S_0 \exp(-\alpha t + \sigma W_t)] $$ $$ Var[S_t]= S_0^2 Var[\exp(- \alpha t + \sigma W_t)] $$ 再次使用對數正態公式
$$ Var[S_t]= S_0^2 (\exp(\sigma^2 t)-1) \exp(-2 \alpha t+\sigma^2t) $$ 總結和替換 $ \alpha $ 和 $ \theta+\frac{1}{2} \sigma^2 $ 我們得到：
$$ \mathbb{E}[S_t] = S_0 \exp(- \theta t) + \frac{\theta \mu}{\theta+\frac{1}{2} \sigma^2} (1+ \exp(- (\theta+\frac{1}{2} \sigma^2) t)) $$ $$ Var[S_t]= S_0^2 (\exp(\sigma^2 t)-1) \exp(-2 \theta t) $$ 希望這應該回答你的問題。
一個OU程序
$ dx_t = \theta(\mu - x_t)dt + \sigma dW_t $
其中 W 遵循標準維納過程，則平均值為 $ \mu $ 和變異數是 $ \sigma^2/2\theta $ . 您可以替換您的因素。
使用數學
mean = Mean[OrnsteinUhlenbeckProcess[$ \mu,\sigma,\theta $]]
variance = Variance[OrnsteinUhlenbeckProcess[$ \mu,\sigma,\theta $]]