應用伊藤引理的實例

在大多數教科書中，伊藤的引理都是推導出來的（根據目標讀者的不同技術水平），然後只給出幾何布朗運動和布萊克-斯科爾斯方程的經典例子。

我的問題

我正在尋找參考資料，其中以易於遵循的逐步方式給出了*許多應用伊藤引理的工作範例。*還應涵蓋更高級的案例。

這些都是關於 Ito 公式的一般形式的範例（具有二次變化）：

我認為這是一個有趣的例子。它涉及習慣的“比率模型”（相對於習慣的“差異”模型）。例如，參見 Abel (1990, American Economic Review)。讓

$$ x_t = \lambda \int_{-\infty}^t e^{-\lambda(t-s)} c_s ds. $$ （對於上下文， $ x_t $ 是一個對數習慣指數，由過去消費的幾何平均值給出，其中 $ c_t $ 是對數消耗。）然後由伊藤的公式， $$ \begin{align} d x_t &= \lambda \int_{-\infty}^t -\lambda e^{-\lambda(t-s)} c_s ds , dt + \lambda c_t dt \ &= \lambda (c_t - x_t) dt. \end{align} $$ 對我來說有趣的部分是很容易錯誤地認為答案是 $ dx_t = \lambda c_t dt $ 或者 $ d x_t = -\lambda x_t dt $ . 編輯：在這裡， $ c_s $ 是一些行為良好的隨機過程。這與上面的 9-1 (a) 基本相同，當 $ dc_t = dW_t $ ， 在哪裡 $ W $ 是布朗運動。這種計算似乎有些頻繁出現（赫爾-懷特利率模型），但似乎沒有直接使用伊藤引理。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/14102