涉及來自 Shreve 的隨機遊走的問題
Shreve 中的問題 5.4i 檢查了對稱隨機遊走。讓 $ \tau_2 $ 是隨機遊走第一次達到 2。
為了 $ \alpha\in (0, 1) $ , 我們得到
$$ E [\alpha ^ {\tau_2}] =\sum_{k = 1} ^\infty (\alpha/2) ^ {2k}\frac{(2k)!}{(k+1)!k!} $$ 很明顯
$$ E [\alpha ^ {\tau_2}] =\sum_{k = 1} ^\infty (\alpha) ^ {2k} P (\tau_2 = 2k) $$ 因此很容易得出這樣的結論
$$ P (\tau_2 = 2k)=\frac{(2k)!}{(k+1)!k!}2^{-2k} $$ 事實上，這就是給出的答案。但總的來說 $ \sum_i f_i g_i =\sum_i f_i h_i $ 並不意味著 $ g_i = h_i $ 所以我不確定我們如何得出這個結論。（被問到這個結論在這裡成立的具體情況。）我錯過了什麼？
的確，一般來說，如果 $ \sum_i f_i g_i = \sum_i f_i h_i $ ，我們不會自動擁有 $ g_i = h_i $ . 但這筆錢很特別，因為所有 $ f_i $ 是單項式（即形式 $ \alpha^n $ ）。這使得總和成為冪級數（形式為 $ \sum_{n=0}^\infty \alpha^n C_n $ )，並且這些系列有很多不錯的屬性，例如連續性和可微性（相對於 $ \alpha $ ).
現在假設我們有相同函式的兩個系列表示：
$$ F(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty\alpha^n C_n $$ $$ F(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty\alpha^n D_n $$ 這是否意味著 $ C_n = D_n $ ? 是的。是的，它確實。正是因為我們正在處理冪級數。看到這一點的一種方法是將級數表示視為泰勒級數 $ \alpha $ . 泰勒級數是獨一無二的，所以我們自動有 $ C_n = D_n = \frac{1}{n!}\frac{\partial^n}{\partial\alpha^n}F\Big|_{\alpha=0} $ .
這種平等從何而來？一個非形式的證明是這樣的：取極限 $ \alpha\downarrow 0 $ . 在這種情況下，我們恢復 $ F(0) = C_0 = D_0 $ . 這證明 $ C_0 = D_0 $ . 接下來，區分系列關於 $ \alpha $ ，並再次取極限 $ \alpha $ 為零。這是可以做到的，因為冪級數是可微的。然後，您將恢復 $ C_1=D_1 $ . 你現在得到了訣竅：證明 $ C_n = D_n $ 你區分 $ n $ 次，並採取限制 $ \alpha $ 為零。這證明了相等性。