Shreve 第 1 卷中給出的身份

在關於隨機遊走（5.3 i）的問題的解決方案中，部分答案包括身份：

$$ \ln \frac{1+\sqrt{1-4 pq}}{2p}=\ln\frac{1-p}{p} $$ 注意 $ p+q=1 $ 和 $ 0<p<1/2<q<1 $ .

這對我來說似乎不是真的，即使我限制了 $ p,q $ 適當地。我錯過了什麼？

使用 $ q = 1-p $ 我們可以將根計算為：

$$ \sqrt{1-4pq} = \sqrt{1-4p(1-p)} = \sqrt{1-4p+4p^2} = \sqrt{(1-2p)^2} $$ 取正根將其減少為 $ (1-2p) $ . 這給出了分數：

$$ \frac{1 + \sqrt{1-4pq}}{2p} = \frac{1 + (1-2p)}{2p} = \frac{1-p}{p} $$ 這在對數內也成立。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17346