具有漂移和吸收障礙的隨機遊走
嗨：我將通過使用只向一個方向行走並且水平且向右的螞蟻來解釋我的問題。
所以，假設我有一隻名叫 slowmo 的螞蟻，它坐在 $ x = 0 $ . 確定性地，他每時間單位向右向前走一個單位，這樣，在 $ N $ 時間單位（從現在開始我稱它們為周期），他會在 $ x = N $ 如果他只是走路並且沒有風。
當然，涉及到風，但它是非常簡單的風。在slowmo 在每個新的離散時間向右前進一個單位之後 $ i $ ，一個隨機變數來自 $ N(0, \sigma^2) $ 繪製。這個隨機變數， $ \epsilon_{i} $ , 是slowmo 在他向前走後被風向前推（如果是+）或向後（如果是-）的量。
請注意，slowmo 可能被如此頻繁地向前推進，以至於他最終在不到 N 個週期內通過了 N 個單位距離。在這種情況下，我們仍然會呼叫他的最終著陸點 $ x = N $ 他的旅行就在那段時間結束了。另一方面，如果他達不到 $ x=N $ 在 $ N $ 期間，那麼旅行也被認為已經結束，他停在哪裡停下來。在每種情況下，他是否達到 $ x = N $ 與否，他的最終位置被提及 $ X[N]_{\sigma^2} $ 它是一個隨機變數。
所以，總結上面，我把slowmo放在 $ x = 0 $ , 聲明他被允許向前走（一步）的時間段數為 $ N $ ， 之後 $ N $ 時間過去了，遊戲結束了。他的結束位置表示為 $ X[N]_{\sigma^2} $ .
我的問題是：什麼是變異數 $ X[N]_{\sigma^2} $ ?
我認為隨機過程本身就是對具有漂移和吸收障礙的整數的隨機遊走。所以，我首先嘗試用Google搜尋“在整數和吸收障礙上隨機遊走”，但我找不到太多關於它的東西，而且絕對不是它的變異數。
因此，我認為不值得尋找更複雜的情況，即由於確定性函式也存在漂移。
這似乎是一個過去的數學天才會在某個時候解決的問題，但就像我說的那樣，我的搜尋結果並不多。
如果有人知道這個問題的材料在哪裡，有或沒有漂移，不勝感激。顯然，漂移使它變得更加複雜，但是，如果我發現了關於非漂移情況的一些資訊，也許這可能會導致更複雜的情況，比如漂移，或者我至少可以得到一些近似值。
同時，雖然我不知道，但如果有人知道如何自己解決這個問題，那當然也將不勝感激。我真的不知道這有多難，但這肯定超出了我的一般能力。謝謝您的幫助。此外，如果這不是要發送到的正確的 stackexchange 站點，請告訴我是否應該發送它來代替數學題。
首先，對於研究此類過程性質的隨機指標來說，這是非常正常的票價。因此，如果您沒有找到任何東西，請查找任何隨機指標教科書。
從您的解釋中不清楚的一件事是 $ X[N] $ 就是慢模早早到達邊界的時候。做 $ X $ 繼續進化，還是停止？這會有所不同，因為如果他可以繼續行走，那麼可能會有很多更大的值，並且會導致變異數。
本質上，您是在詢問最終位置的變異數 $ N $ 腳步; 漂移在這裡是一種干擾，因為預期的位置總是 $ N\pm \mathrm{something} $ ; 這相當於從 $ N $ 然後演化出一系列沒有漂移的隨機步驟。
獨立隨機變數之和（即每個隨機步長）的變異數是每個變數的變異數之和：
$$ \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{i=N} W_i \right) = \sum_{i=1}^{i=N} \mathrm{Var}\left(W_i \right) $$ 在這種情況下，變數以均值 0 和變異數分佈 $ \sigma $ , 所以總和的變異數 $ N $ 此類變數：
$$ \mathrm{Var}\left(\sum_{i=1}^{i=N} W_i \right) = \sum_{i=1}^{i=N} \sigma^2 = N \sigma^2 $$ 吸收
這裡的皺紋是這種吸收的概念，這表明您的意思是一旦遇到障礙，值就會停止變化。所以Slowmo會達到價值的所有場景 $ X>N $ 被吸收到結果中 $ X=N $ .
在這種結構中，將變異數作為步驟的變異數之和來討論不再有意義，因為其中一些步驟甚至可能不會發生。考慮在 1 步之後，Slowmo 以極小的機率到達哪裡 $ N $ . 剩餘的 $ N-1 $ 步驟沒有發生，那麼您將如何解釋它們的差異？
這也意味著期望值不再 $ N $ . 以前，低於 N 的值的每個機率塊都與高於 N 的對稱部分匹配，將 N 作為期望值。但是現在上面沒有值 $ N $ ，所以期望值低於 $ N $ .
為了說明，在一個快速的電子表格中，我計算了一系列有和沒有吸收的執行的平均值和變異數：
Mean Var Unbounded ~6 ~0.28 Absorbing ~5.8 ~0.1每一步的標準偏差為 0.2，所有超過 6 的值都精確到 6，並且所有達到 6 的路徑都提前終止。
那麼修改後的變異數會是什麼樣子呢？它將低於無界過程，因為基本上整個分佈的右側尾部已被刪除。然後這開始看起來像半正態分佈，其變異數為 $ 1-2/\pi \approx 0.36 $ 的等效法線。
在測試表中，有界結果的變異數大約是無界結果的三分之一 - 提前停止還有一個額外的元素，這將取決於標準偏差值本身，因為小的標準偏差不太可能提前終止而不是較大的價值觀；實際上，每一步的標準偏差為 1e-10，我得到的比率為 0.35，標準偏差為 100（即障礙為 ~0），比例為 0.27。
類似選項
作為標準，該模型看起來像是 Slowmo 位置的一個選項。具體來說，如果收益是 $ X[N] $ ，那麼我們有一個價值與底層證券正相關的期權，直到價值障礙 $ N $ . 更現實的版本將應用一些指數漂移而不是線性漂移，並且具有幾何而不是線性布朗運動；即隨機運動的規模將是相對的而不是絕對的。
為了進一步閱讀，我建議閱讀有關隨機指標和障礙選項的內容，並通過電子表格放置一些測試數字。