隨機遊走和使用反射原理

考慮 Shreve 第 1 卷中的練習 5.5：

對於第 (I) 部分，我了解您如何使用反射來表明 $ P(M_n^*\geq m, M_n=b)=P(M_n=2m-b) $ . 但是，在我看來，後一種機率只是二項式，因此：

$$ P(M_n=2m-b)={n\choose 2m-b}(1/2)^n $$ 這不等於給出的等式；例如 $ n=6,m=2,b=0 $ 是一個反例。我錯過了什麼？

如果你上去 $ u $ 次及以下 $ d $ 次，你的隨機遊走最終在 $ u-d $ 有時 $ u+d $ . 既然有 $ {u+d \choose u} $ 分發方法 $ u $ 向上移動 $ u+d $ 移動

$$ P(M_{u+d} = u-d) = {u+d \choose u} \frac{1}{2^{u+d}} $$ 環境 $ n = u+d $ , $ x = u-d = 2u-n $ ， 所以 $ u = n+x/2 $ , 這相當於$$ P(M_n = x) = {n \choose (n+x)/2} \frac{1}{2^n}. $$ 所以 $$ P(M_n = 2m-b) = {n \choose (n-b)/2+m} \frac{1}{2^n} $$ 正如宣布的那樣。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/17628