隨機過程+布朗運動+ ITOS-LEMMA + SDE
褐色運動的隨機微分方程
關於ITO的引理有關計算SDES有兩個問題。這些例子很簡單，但我還沒有找到答案。
拿 $ W_t $ 作為標準的布朗運動和 $ g(s) $ 作為一些功能 $ s $ . 假設所有規律等得到滿足，並採取 $ F $ 一些功能。我知道，如果 $ F = \int_0^tg(s)dW_s $ ，則對應SDE是 $ dF = g(t)dW_t $ . 然而，應用伊藤引理，我不知道這個SDE是如何得出的。我不確定接下來的部分：
- $ dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}{=g(t)dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}{=g(t)}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=0}dt = g(t)dW_tdt + g(t)dW_t = g(t)dW_t $
**問題1：**是 $ \frac{\partial F}{\partial t} = g(t)dW_t $ 正確的？或這應該是零？
現在拿 $ F=\int_0^tW_s^2dW_s $ .我的方法是：
- [數學處理錯誤] $ dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}{=W_t^2dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}{=W_t^2}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=W_t}dt = W_t^2dW_t+W_tdt $
**問題2：**在上面例子中，偏導數是否正確？
在隨機分析，隨機只有積分的定義。微分形式僅僅是一個符號。那是，
$$ dF=g(t)dW_t $$僅僅是積分的另一種表達$$ F=\int_0^t g(s) dW_s. $$見，例如，在這本書還是這本書，所有的伊藤引理在積分形式表達。 對於你的問題，注意[數學處理錯誤] [t數學處理錯誤] [Wt數學處理錯誤] $ F $ 不是的函式 $ t $ 和 $ W_t $ ，也就是說，它的形式是不 $ F(t, W_t) $ . 實際上，這取決於整個路徑 $ W_s $ 從[數學處理錯誤] [t數學處理錯誤] $ 0 $ 到 $ t $ . 那麼伊藤引理不能適用於 $ F $ . 你的兩個問題的申請都不正確。