關於完整市場的定義
在 Steven Shreve 的《金融隨機微積分 2》一書中，定義 5.4.8 說，如果每個衍生證券都可以對沖，則市場是完整的。每個衍生證券到底是什麼意思？直到第 5 章的書只考慮了歐式期權。但在定理 5.4.9 的證明中，它構造了一種衍生證券，其收益 $ V(T) $ 是路徑依賴的。看起來這是美式期權的一個案例。是不是每一個回報 $ V(T) $ 這是一個可測量的函式 $ \mathcal{F}(T) $ 是衍生證券，每一種衍生證券都可以這樣定義嗎？
最好的理解方法是回到一期二項式期權定價。這也在 Shreve 的“Stochastic Calculus for Finance 1”一書中進行了討論。
這裡有一篇關於單期二項式期權定價的好文章。您將需要了解：
- 儘管有無數種方法可以分配一個週期的機率，但對於風險中性機率有一個**唯一的解決方案。**其他任何事情都不是風險中性機率。
- 如果我們有獨特的風險中性機率，我們就知道不會有套利機會。
- 如果我們知道不會有套利機會，我們就知道我們可以對沖（或複制）任何收益。
如您所見，它們是相互關聯的。如果你不能對沖某些東西，就沒有風險中性機率，就有套利。此外，如果存在套利，您無法真正為期權定價。
現在，讓我們回到你的問題。回想一下，連續期權定價實際上只是無限的一期二項樹。我們不再談論離散機率，我們現在使用術語機率測度（例如風險中性機率測度）。
完整模型基本上意味著我們剛才所說的一切：
- 如果我們可以對沖（複製）一切，它就是一個完整的模型
- 如果我們可以對沖一切，就有一個獨特的風險中性機率（第二個基本定理——書中的定理 5.4.9）
- 如果我們有唯一的風險中性機率，則不存在套利（資產定價第一基本定理——書中定理 5.4.7）
Shreve 然後談到了 Radon-Nikodym 導數，這只是將真實和風險中性度量聯繫起來的一種方式。
所以，當書上說“完全市場”時，它的意思是一個完美的市場，所有的風險因素都可以完美對沖，沒有交易成本，不出意外，我們可以為期權定價（Black-Scholes），而且它是假的（我們的市場是不完整）。
在 Shreve 使用的框架中，衍生證券的精確定義如下： $ S(t) $ 表示證券或證券家族（在多維市場模型中，即 $ S(t) = (S_1(t), \cdots, S_n(t)) $ . 然後在時間確定衍生證券 $ T $ 在有回報的條件下 $ V(T) $ , 可以表示為 $ V(T)=g(S(T)) $ ， 和 $ g $ 一個 $ \mathcal{F}(T) $ - 可測量的功能。
這是數學上正確的定義，因此特別是對於帶有行使價的歐式看漲期權 $ K $ 你有 $ g(x)=(x-K)^+ $ ， 等等。現在，看定理 5.4.9 的證明。在這種情況下，您的收益定義為 $ V(T)=\mathbf{1}_A\cdot (D(T))^{-1} $ . 在這種情況下，安全 $ S(T) $ 只是 $ D(T) $ ， 和 $ g(x) $ 是可測量的，因為 $ A $ 顯然是一個 $ \mathcal{F}(T) $ - 可測量集。
但是，您是對的，Shreve 從未在書中明確定義他所說的“衍生證券”的確切含義。