隨機遊走的變異數累積率
我對術語 Shreve (2008) 有點困惑，他說：
“對稱隨機遊走的變異數以每單位時間 1 的速率累積，因此在任何時間間隔內增量的變異數 $ k $ 至 $ l $ 對於非負整數 $ k<l $ 是 $ l-k $ 。”
後半句我看懂了，但是我不明白變異數的累積率。這是我不熟悉的事情。我認為變異數單位的方式是它是平方的，因此通常不容易解釋。
定義這種對稱隨機遊走的上下文是考慮一個隨機變數，如果硬幣正面朝上，則向您支付1 美元，否則向您支付 - 1美元。考慮這個美元賭注的累積收益或損失 $ k $ -th 賭注，我們稱這個過程為對稱隨機遊走。
那麼他在這裡對變異數累積的速率是什麼意思呢？累積賭注的分散度累積的速率？使困惑。
參考：
Shreve, Steven E. \textit{金融隨機微積分 II：連續時間模型}。斯普林格，2008。
如果我們將隨機遊走表示為 $ (X_k){k \in \mathbb{N}} $ 比所有人 $ k $ 隨機變數 $ \Delta X_k := X{k} - X_{k-1} $ 均值為零，變異數為一： $$ \begin{align} \mathbb{E}[\Delta X_k] = \frac 12\cdot 1 + \frac 12 \cdot (-1) = 0, \quad \text{Var}(\Delta X_k) = \mathbb{E}[(\Delta X_k)^2] - \bigl(\mathbb{E}[\Delta X_k]\bigr)^2 = 1 \end{align} $$
這就是第二部分的意思。
第一部分處理變異數 $ X_k $ 可以這樣計算： $$ \begin{align} \text{Var}(X_k) &= \mathbb{E}\Bigl[\text{Var}(X_k \mid X_{k-1}) \Bigr] + \text{Var}\Bigl(\mathbb{E}[X_k \mid X_{k-1}] \Bigr) = 1 + \text{Var}(X_{k-1}), \ \text{Var}(X_1) &= \mathbb{E}[(X_1)^2] - \bigl(\mathbb{E}[X_1]\bigr)^2 =1. \end{align} $$
所以 $ \text{Var}(X_k) = k $ 對所有人 $ k \in \mathbb{N} $ . 特別是，對稱隨機遊走的變異數以每單位時間 1 的速率累積。