美式看跌期權。行使時間是隨機變數，計算預期收益

我有一個美式看跌期權，收益在哪裡 $ V_\tau = \max(K - X_{\tau}, 0) $ 和 $ X_{\tau} $ 是停止時標的物的價格 $ \tau < T $ . 底層證券遵循標準GBM $ r = q = 0 $ ; $ X_0 $ 給出。

我需要計算期望 $ E[V] $ 在假設 $ \tau $ 具有強度指數分佈 $ \lambda = 0.025 $ .

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我嘗試將這個等式轉換為： $$ \int_0^\infty (K - X_0e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 \tau + \sigma \sqrt{\tau}Z})^+\lambda e^{-\lambda \tau}d\tau $$ 但後來我完全迷失瞭如何處理平方根。我知道根據定義 $ E[\tau] = \frac{1}{\lambda} $ 但我可以用這個作為答案嗎？如在，我可以聲稱： $$ E[V] = V\left(X_{\frac{1}{\lambda}}, \frac{1}{\lambda}\right) \text{ ?} $$

你不能提出這樣的要求。 $ v(T,s_0,k…) $ 大約增加 $ \sqrt t $ . 它不是線性的 $ t $ . 由簡森不等式 $ E[v(T,s_0,k…)] < v(E[T],s_0,k…) $ 什麼時候 $ v’’(T)<0 $ 和 $ T $ 不是一個常數。

為此類期權定價的最佳方法是使用蒙特卡羅： 1. 您生成停止時間。2. 在這個生成的停止時間生成基礎值並將其儲存在向量中。3. 價格將是向量的平均值，因為 r 和 q 等於 0。就這樣。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/44932