顫音蒙特卡羅方法的應用
Ciao，我在研究Vibrato Montecarlo 方法時，我想出了一個非常簡單的問題：這種方法的實際應用是什麼？讓我解釋。
簡而言之，該方法的主要思想如下：假設您想計算具有不連續收益的衍生品的敏感性，那麼您應該嘗試以下操作：
- 用柱子離散時間 $ t_1, \dots, t_N $ .
- 假設您知道當時股票的價值 $ t_{N-1} $ 並且，通過了解它，將支付函式分析整合為$$ V(S_{N-1}) = \mathbb{E}[f(S_N) | S_{N-1}] $$
- $ V(S_{N-1}) $ 仍然是一個隨機量，取決於 $ S_{N-1} $ 但知道它是一個可微函式（本質上，積分作為起始不連續收益的緩和）。此時您可以計算靈敏度 wrt 參數 $ \lambda $ 通過使用經典的有限差分和蒙特卡羅方法應用於 $ V(S_{N-1}) $ 模擬軌跡 $ S_{N-1} $ : $$ \partial_\lambda V(\lambda) = \frac{V(\lambda + h, S_{N-1}) - V(\lambda, S_{N-1})}{h} $$
該程序非常聰明，從數字的角度來看它是有效的，但我不明白它有什麼用處。事實上，通常，如果你可以從 $ t_{N-1} $ 至 $ t_N $ ，即步 $ 2 $ , 你可以從 $ t_0 $ 所以使用蒙特卡羅和有限差分是沒有意義的。
例如，對於看漲期權，這一點很明顯。
我的問題是：
你能給我一個例子，其中完全可積性是不可能的（或太難了），但部分可積性（即來自 $ t_{N-1} $ 至 $ t_N $ 很容易做到（因此在這種情況下，Vibrato Montecarlo 技術是有意義的）？
謝謝你的幫助！！
再見！
是
為了保持符號整潔，假設融資成本為零，並考慮歐洲或有債權定價為
$$ V = \Bbb{E}0 \left[ h(S_N) \right] $$ 假設您想讓您的定價依賴於特定的模型參數 $ \theta $ 出現。然後，您通常有以下表示選擇 $$ \begin{align} V &= \int_0^\infty h(S) q(S,\theta) dS \tag{1} \ &= \int{-\infty}^\infty h(S(z,\theta)) p(z) dz \tag{2} \end{align} $$ 在哪裡 $ z $ 是一個已知分佈的隨機變數。表達的時候 $ \partial V/\partial \theta $ 使用上述表達式 + Fubini，第一個將產生所謂的概似比方法，第二個將產生路徑敏感度方法 $$ \begin{align} \frac{\partial V}{\partial \theta} &= \int_0^\infty h(S) \frac{\partial q(S,\theta)}{\partial \theta} dS = \Bbb{E}0 \left[ h(S_N) \frac{\partial \ln q}{\partial \theta} \right] \tag{1’} \ &= \int{-\infty}^\infty h(S(z,\theta)) p(z) dz = \Bbb{E}_0 \left[ h’(S_N) \frac{\partial S_N}{\partial \theta} \right] \tag{2’} \end{align} $$ PS 方法要求支付函式是可微的，但情況可能並非總是如此。想想數字期權，區分指標函式會產生狄拉克，這意味著只有在執行價格上結束的模擬路徑才是重要的，即不實用。
第一個是可以的，只要風險中性分佈 $ S_N $ 在手頭的模型下是易於處理的，但可能並非總是如此（例如考慮局部波動）。但是在模擬 SDE 時， $ S_N \vert S_{N-1} $ 將易於處理，因此 LR 方法經常被重寫為
$$ \Bbb{E}0 \left[ h(S_N) \sum{n=1}^N \frac{\partial \ln q(S_n \vert S_{n-1})}{\partial \theta}\right] $$ LR 方法的問題之一是它沒有表現出非凡的收斂性。Vibrato 由其作者介紹為 2 之間的智能混合。 在數字期權的情況下很容易說明，它沒有可微分的支付功能，因此不能應用傳統的 PS 方法。這個想法是有條件的 $ S_{N-1} $ 的分佈 $ S_N $ 是易處理的。所以我們將在最後一個時間步上使用 LR 方法。後一種分佈的參數將作為以下函式出現 $ \theta $ . 為了獲得這些參數的敏感性 $ \theta $ , 我們使用 PS 方法。
所以顫音在那種情況下歸結為應用PS方法 $ t \in [0, t_{N-1}[ $ 獲得條件分佈參數的敏感性 $ q(S_N \vert S_{N-1}) $ 至 $ \theta $ . 然後，對於每個生成的路徑，在最後一個時間步上使用 LR 方法。請注意，這會產生某種“嵌套”蒙地卡羅步驟（可以對香草和數字支付進行分析），但根本不會像您建議的那樣使用“有限差異”？