Mark Joshi 在數學金融的概念和實踐中給出的伊藤引理和我學到的一樣嗎？
在Joshi 的數學金融概念和實踐中，頁 $ 110, $ 他陳述了伊藤引理：
定理 $ 5.1 $ （伊藤引理）讓 $ X_t $ 是一個滿足這個過程 $$ dX_t = \mu(X_t,t)dt + \sigma(X_t,t)dW_t, $$ 然後讓 $ f(x,t) $ 是二次可微函式；那麼我們就有了 $ f(X_t,t) $ 是一個 Ito 過程，並且 $$ d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)dX_t + f’(X_t,t)dX + \frac{1}{2}f’’(X_t,t) dX_t^2 $$ 在哪裡 $ dX_t^2 $ 定義為 $$ dt^2 = 0, \quad dtdW_t = 0\quad dW_t^2=dt. $$
我對上面的伊藤引理有些懷疑。表述是否正確？是什麼意思 $ f’(X_t,t) $ 和 $ f’’(X_t,t) $ 因為我們有多變數函式？另外，我知道的伊藤引理是由 $$ d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t) dt + \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) dX_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,t) (dX_t)^2 $$ 在哪裡 $ (dX_t)^2 = \sigma^2(X_t,t)dt. $
上面的兩個伊藤引理是等價的嗎？
$ f’(X_t, t) $ 指 $ \frac{\partial f}{\partial x} (X_t, t) $ . 如果您在符號上進行此更改，並更正@Alex C 指出的錯字，則 Ito 引理的兩個版本將匹配。
此外，Mark Joshi 書中使用的符號也不是標準的；你在這種情況下的困惑是很自然的。