非對稱隨機遊走/證明和[噸:=inf{n:Xn=b}]<∞和[噸:=資訊{n:Xn=b}]<∞E[T:= inf{n: X_n = b}] < infty
給定隨機變數 $ Y_1, Y_2, … \stackrel{iid}{\sim} P(Y_i = 1) = p = 1 - q = 1 - P(Y_i = -1) $ 在哪裡 $ p > q $ 在過濾的機率空間中 $ (\Omega, \mathscr F, {\mathscr F_n}_{n \in \mathbb N}, \mathbb P) $ 在哪裡 $ \mathscr F_n = \mathscr F_n^Y $ ,
定義 $ X = (X_n){n \ge 0} $ 在哪裡 $ X_0 = 0 $ 和 $ X_n = \sum{i=1}^{n} Y_i $ .
可以證明，隨機過程 $ M = (M_n){n \ge 0} $ 在哪裡 $ M_n = X_n - n(p-q) $ 是一個 $ ({\mathscr F_n}{n \in \mathbb N}, \mathbb P) $ -鞅。
讓 $ b $ 是一個正整數並且 $ T:= \inf{n: X_n = b} $ .
可以證明 $ T $ 是一個 $ {\mathscr F_n}_{n \in \mathbb N} $ -停止時間。
證明 $ E[T] < \infty $ .
一個要使用的命題是“總是有合理機會發生的事情將（幾乎肯定）發生——早點而不是晚點”或在這裡（證明在這裡）
所以讓我們證明 $ \exists N \in \mathbb N, \epsilon > 0 $ 英石 $ \forall n \in \mathbb N $ ,
$$ P(T \le n + N | \mathscr F_n) > \epsilon $$ 或較弱的條件 $ \exists N \in \mathbb N, \epsilon > 0 $ 英石 $ \forall n \in \mathbb N $ ,
$$ P(T > kN) \le (1 - \epsilon)^k $$
我嘗試了第一個：
$$ P(T \le \infty | \mathscr F_n) = E(1_{T \le \infty} | \mathscr F_n) = \sum_{i=1}^{n} 1_{T=i} + \sum_{i=n+1}^{\infty} E[1_{T=i} | \mathscr F_n] $$ 因此，我們必須找到整數 N 和一個正數 $ \epsilon $ 英石
$$ P(T \le n + N | \mathscr F_n) = E(1_{T \le n + N} | \mathscr F_n) = \sum_{i=1}^{n} 1_{T=i} + \sum_{i=n+1}^{n+N} E[1_{T=i} | \mathscr F_n] > \epsilon $$ 在哪裡 $ \forall i > n $ ,
$$ E[1_{T=i} | \mathscr F_n] = P(T=i | \mathscr F_n) $$ $$ = P(X_i = b, X_1 \ne b, X_2 \ne b, …, X_n \ne b, …, X_{i-1} \ne b | \mathscr F_n) $$ $$ = \prod_{j=1}^{n} 1_{X_j \ne b} E[1_{X_i = b} \prod_{j=n+1}^{i-1} 1_{X_j \ne b} | \mathscr F_n] $$
這就是我得到的。我該如何解決這個問題？
$ \because M_n $ 是鞅並且 $ T \wedge k $ 有界，由 Doob 的可選停止定理，我們有
$$ E[M_{T \wedge k}] = E[M_0] = 0 $$ $$ \to E[T \wedge k] = \frac{1}{p-q} E[X_{T \wedge k}] $$ 根據單調收斂定理，我們有
$$ E[T] = \lim_{k \to \infty} E[T \wedge k] $$ 最後，根據定義 $ T $ ， 我們有
$$ X_{T \wedge k} \le \frac{b}{p-q} $$ $$ \to E[T] \le \frac{b}{p-q} < \infty \ QED $$
讓 $ b=1 $ , $ p=1/3 $ , $ q=2/3 $ . 在這種情況下不難證明 $ T $ 是有限的，機率正好 $ 1/2 $ . 最後， $ E[T] = \infty $ 你的主張一般不成立。
如果 $ p\geq q $ （在這種情況下，例如，您可以通過首先證明它適用於 $ b=1 $ 並從那裡開始進行歸納）。