隨機過程
巴克斯特和雷尼：關於符號的問題
在 Baxter 和 Rennie（金融微積分）的第 56 頁，我們有
- 連續隨機過程的定義，在漂移方面 $ \mu_s $ 和波動性 $ \sigma_s $ . 重要的是要記住，漂移和波動性本身可以是過程。
- 唯一性結果，其中一部分告訴我們對於給定的 $ \mu_s $ , $ \sigma_s $ 和 $ X_0 $ ，我們只能構造一個程序 $ X_t $ .
但是，頁面底部介紹了 SDE，可能有多種解決方案。SDE 的定義是根據漂移和波動性給出的，這可能取決於過程的目前值——符號為 $ \mu(X_t,t) $ 和 $ \sigma(X_t,t) $ .
我認為 $ \mu(X_t,t) $ 和 $ \sigma(X_t,t) $ 是特殊情況 $ \mu_s $ 和 $ \sigma_s $ ，這意味著一個 SDE不能有多個解。這顯然是錯誤的，我想知道為什麼——希望就這兩種符號的不同而言。先感謝您！
符號 $ \mu(X_t,t) $ 和 $ \sigma(X_t,t) $ 確實是更一般表示法的特例 $ \mu_t $ 和 $ \sigma_t $ . 後者可以是任何隨機過程（具有定義中給出的條件）。首先請注意，如果 $ \sigma_t=0 $ ，SDE 簡化為 ODE，我們已經知道並非所有 ODE 都是可解的（顯式且唯一地）。
然而，正如你所說， $ \mu_t $ 和 $ \sigma_t $ （或者 $ \mu(X_t) $ 和 $ \sigma(t,X_t) $ )沒有唯一地定義一個隨機過程。您還需要初始值 $ X_0 $ . 在頁面底部的 SDE 的定義中，作者沒有包括初始條件 $ X_0 $ 這對於擁有獨特的解決方案至關重要。
- 看兩個不同起點的幾何布朗運動，你會得到兩個不同分佈的不同過程。請記住，對於每個 $ t\geq0 $ ,$$ \ln(X_t) \sim N\left( \ln(X_0) + \left( \mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t, \sigma^2t\right). $$
可以顯示：如果您固定一個初始值（並且如果 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 滿足一些監管（Lipschitz）條件），那麼 SDE 確實存在一個獨特的解決方案。
- 例如，$$ \mathrm{d}X_t =3X_t^{3/2}\mathrm{d}t $$ 和 $ X_0=0 $ . 這是一個 ODE，其中 $ 3x^{3/2} $ 未能滿足 Lipschitz 條件，因此您找不到唯一的解決方案：對於任何 $ a>0 $ , $$ \begin{align*} X_t = \begin{cases} 0 & t\leq a, \ (t-a)^3 & t>a \end{cases} \end{align*} $$ 是 ODE 的一個解。