b=1b=1beta = 1: SABR 的模擬以及解決方案是否精確
關於條件分佈的快速問題（SABR 只是一個例子）
考慮 $$ dS_t = \sigma_tS_tdW_t $$ $$ d\sigma_t = \alpha\sigma_tdV $$ $$ dW_tdV_t=\rho dt $$
因此，SABR 過程與 $ \beta=1 $ . 波動過程是一個 GBM，因此我們可以實現精確的解決方案並模擬 $ \sigma_{i+1} $ 從 $ \sigma_i $ . 現在我不知道用什麼數學術語 $ S_t $
什麼時候 $ V_{i+1} $ 和 $ V_{i} $ 是已知的，我們知道 $ \sigma_{i+1} $ 從 $ \sigma_i $ .
和 $ \sigma_t $ 已知，我們可以模擬 $ W_{i+i}-W_{i} $ 以及正確的計算方法 $ S_{i+1} $ 從 $ s_i $ 是具有波動性的 GBM $ \sigma_i $ . 這就是在實踐中使用這些參數的方式。
**我的問題：**我們可以呼叫到哪個範圍 $ S_{i+1} $ 準確嗎？
**我個人的看法：**這根本不准確，因為我們必須知道整個路徑 $ [\sigma_i,\sigma_{i+1}] $ 準確地說。
我感到困惑的原因是人們稱SABR為 $ \beta = 1 $ 對於已實現波動率的對數正態。
不，模擬通常不准確，正是出於您提到的原因。“精確”是指時間上沒有離散化誤差。當然，總會有一個蒙地卡羅抽樣誤差。
對於 Black-Scholes 模型，如果您模擬對數資產，則模擬是精確的，因為它是標準算術布朗運動，然後您只需計算對數資產在每條路徑上的指數。沒有離散化誤差，時間間隔上的積分是精確計算的。
對於對數正態 SABR 模型 ( $ \beta=1 $ )，使用對數資產公式，您可以計算積分 $ \int_{0}^{t} \sigma^2(u) du $ 確切地說，但你仍然有這個詞 $ \int_{0}^{t} \sigma(u) dW(u) $ 計算。一般來說，人們會為此使用一個近似值。
現在，在現實中，我相信實際上有一種方法可以精確計算這個分佈，這用於計算普通期權價格的封閉式公式 $ \beta=1 $ ，但這個封閉式公式涉及非平凡函式的雙積分（這可以在 Pierre Henry-Labordère 的書“金融分析、幾何和建模”中找到）。也有圍繞這個隨機積分的數學論文。對於蒙特卡羅模擬，使用如此復雜的公式可能不是一個好主意，因為它通常會非常慢。