債券 SDE 在其自身的遠期計量下

我正在嘗試為遠期債券編寫 SDE， $ dP(t,T_1,T_2) $ ， 在下面 $ T_1 $ - 前向措施， $ Q_{T_1} $ . 我可以通過以下方式輕鬆做到這一點：

1. 寫出方程 $ dP(t,T_1) $ 和 $ dP(t,T_2) $ 在風險中性措施下（ $ Q $ ).
2. 應用 Ito 的比率公式。
3. 最後，將度量更改為 $ Q_{T_1} $ .

當我嘗試在下面編寫兩個 SDE 時遇到問題 $ T_1 $ - 直接向前測量。做什麼 $ dP(t,T_1) $ 看起來像在 $ T_1 $ - 前向措施？不應該是身份嗎？那麼如何將伊藤的公式應用於該比率呢？

我們考慮一個具有三種資產的金融市場： 零息債券 $ T_1 $ ，第二個成熟的 $ T_2 $ 和貨幣市場賬戶 $ B_t $ . 假設市場的無風險利率 $ r_t $ 是正態分佈的，風險中性測度下資產的現貨動態 $ Q $ 由以下給出：

$$ \begin{align} \frac{\text{d}B_t}{B_t}&=r_t\text{d}t \[6pt] \frac{\text{d}P(t,T_1)}{P(t,T_1)}&=r_t\text{d}t+\sigma(t,T_1)\text{d}W_t^{(1)} \[6pt] \frac{\text{d}P(t,T_2)}{P(t,T_2)}&=r_t\text{d}t+\sigma(t,T_2)\text{d}W_t^{(2)} \[6pt] \text{d}W_t^{(1)}\text{d}W_t^{(2)}&=\rho\text{d}t \end{align} $$ 這 $ T_1 $ - 前向測量 $ Q_{T_1} $ 被定義為使得所有 $ T_1 $ -遠期資產是鞅。讓我們定義：

$$ \begin{align} \tilde{B}_t &\triangleq \frac{B_t}{P(t,T_1)} \[6pt] \tilde{P}(t,T_2)&\triangleq \frac{P(t,T_2)}{P(t,T_1)} \end{align} $$ 根據伊藤的引理，前鋒動態是：

$$ \begin{align} \frac{\text{d}\tilde{B}_t}{\tilde{B}_t} &= \sigma^2(t,T_1)\text{d}t-\sigma(t,T_1)\text{d}W_t^{(1)} \[6pt] \frac{\text{d}\tilde{P}(t,T_2)}{\tilde{P}(t,T_2)} &=\left(\sigma^2(t,T_1)-\rho\sigma(t,T_1)\sigma(t,T_2)\right)\text{d}t+\Sigma(t)\cdot\text{d}W_t\end{align} $$ 在哪裡：

$$ \begin{align} \Sigma(t)&\triangleq \bigg(-\sigma(t,T_1),\sigma(t,T_2)\bigg) \[2pt] W_t&\triangleq \bigg(W_t^{(1)},W_t^{(2)}\bigg) \end{align} $$ 使用 Girsanov 定理，我們定義 $ T_1 $ -前向測量，使得以下過程是下的布朗運動 $ Q_{T_1} $ :

$$ \begin{align} \tilde{W}_t^{(1)}&=W_t^{(1)}-\int_0^t\sigma(s,T_1)\text{d}s \[6pt] \tilde{W}_t^{(2)}&=W_t^{(2)}-\rho\int_0^t\sigma(s,T_1)\text{d}s \end{align} $$ 這變成了正向動力鞅：

$$ \begin{align} \frac{\text{d}\tilde{B}_t}{\tilde{B}_t} &= \sigma(t,T_1)\text{d}\tilde{W}_t^{(1)} \[6pt] \frac{\text{d}\tilde{P}(t,T_2)}{\tilde{P}(t,T_2)} &=\Sigma(t)\cdot\text{d}\tilde{W}_t\end{align} $$ 因此現貨動態下 $ T_1 $ - 前向措施是：

$$ \begin{align} \frac{\text{d}B_t}{B_t}&=r_t\text{d}t \[6pt] \frac{\text{d}P(t,T_1)}{P(t,T_1)}&=\left(r_t+\sigma^2(t,T_1)\right)\text{d}t+\sigma(t,T_1)\text{d}\tilde{W}_t^{(1)} \[6pt] \frac{\text{d}P(t,T_2)}{P(t,T_2)}&=\left(r_t+\rho\sigma(t,T_1)\sigma(t,T_2)\right)\text{d}t+\sigma(t,T_2)\text{d}\tilde{W}_t^{(2)} \end{align} $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/40672