有界隨機離散過程
我剛剛遇到了這個隨機過程（連結）：
$ dY_t = (a-bY_t)dt + c \sqrt{Y_t(1-Y_t)}dW_t $ ， 在哪裡 $ dW_t $ 是維納過程。根據作者的說法，在某些條件下，這個過程的界限在零和一之間。
這個過程是否有任何離散時間模擬？我試過：
$ Y_{t+1} = (a-bY_t) + c \sqrt{Y_t(1-Y_t)}w_{t+1} $ ， 在哪裡 $ w_t $ 是一個正常的隨機變數，均值為 0，變異數為 1，但我猜這個過程可能會跳出界限……
我相信您假設的過程具有 Beta 條件分佈。如果我沒記錯的話，我在 Liptser 和 Shiryayev 的“隨機過程統計”一書中遇到了它，它是 HMM 中條件機率的演變。這是 10 多年前的事了，因此我可能過得很好。
在這種情況下，您應該從 Beta 採樣以離散化
更新：
我的錯誤，固定分佈是 Beta，而不是條件分佈。因此，您將無法完全從 Beta 進化。您假設的擴散稱為“雅可比擴散”，參見 Forman 和 Sørensen，案例 6，位於 http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1150110
我懷疑您可能能夠使用固定 PDF 來生成一個近似方案來離散化。
更新 2：
實際上，讓我稍微改變一下符號並寫
$$ d Y_t = \theta (\mu-Y_t)\ dt + \sqrt{2\alpha\theta Y_t(1-Y_t)}\ dB_t $$ 我們知道有一個平穩分佈 $ Y_\infty\sim B\left(\frac{\mu}{\alpha}, \frac{1-\mu}{\alpha}\right) $ . 現在，使用變數的變化 $ X_t = f(Y_t) = 2 \arcsin\sqrt{Y_t} $ , 這導致擴散
$$ dX_t = \frac{\theta (\mu -\alpha/2) - (\alpha-1) \theta \sin^2 (X_t/2)}{|\sin X_t|}\ dt + \sqrt{2\alpha\theta}\ dB_t $$ 您可以將其模擬為
$$ x_{t+\delta} = x_t + \frac{\theta (\mu -\alpha/2) - (\alpha-1) \theta \sin^2 (x_t/2)}{|\sin x_t|}\ \delta + \sqrt{2\alpha\theta\delta}\ \epsilon_t,\quad \epsilon_t\sim N(0,1) $$ 然後轉換回產生路徑 $$ y_t = \sin^2 (x_t/2) $$
如果你的增量是正常的隨機變數，你不會得到一個保持在界限內的過程，它有一個無界的分佈。
您可能想查看某種隨機遊走，其中增量是離散分佈。換句話說，您有一個有限的值列表，您可以添加或減去這些值，每個值都具有正機率。分佈可能會根據 $ t $ 和之前的值 $ Y_t $ .
我認為非常有前途的一種方法是在兩者之間添加一些差異 $ Y_t $ 0 或 1，取決於方向。
例如 $ Y_{t+1} = (a’ - b’Y_t) + c’(1 - Y_t) $ 有機率 $ p(t, Y_t) $ ， 和 $ Y_{t+1} = (a’ - b’Y_t) - c’Y_t $ 有機率 $ 1 - p(t, Y_t) $ . 應該很容易找到一個函式 $ p(t, Y_t) $ 使得變異數 $ Y_{t+1} - Y_t $ 正是你想要的，然後去調整 $ a’ $ 和 $ b’ $ 使 $ Y_{t+1} - Y_t $ 與連續情況相同或相似。