布朗橋一般案例
布朗橋的 SDE 如下：
$ dY_t=\frac{b-Y(t)}{1-t}dt+dW(t) $
解決方案：
$ Y(t)=Y(0)(1-t)+bt+(1-t)\int_0^t \dfrac{dW(s)}{1-s} $
有人可以幫助我證明這一點$$ \lim_{t\rightarrow 1^-} Y(t)=b $$ 使用 Dambis-Dubins-Schwarz 定理和大數定律？
我們需要證明$$ \lim_{t\to1^-} (1-t)\int_0^t\frac1{1-s}dW_s \stackrel{\text{a.s.}}= 0. $$
$ (M_t){t<1}=\Big(\int_0^t\frac1{1-s}dW_s\Big){t<1} $ 是鞅，所以我們可以用 Dambis-Dubins-Schwarz 說 $ M_t = B_{\langle M\rangle_t} $ 對於布朗運動 $ B $ （當然有不同的過濾）。
然而， $ \langle M\rangle_t = \int_0^t \frac1{(1-s)^2}ds = \int_{1-t}^1\frac1{s^2}ds = \frac1{1-t}-1 = \frac t{1-t}. $
這意味著我們要證明$$ \lim_{t\to1^-}(1-t)B_{\frac t{1-t}} \stackrel{\text{a.s.}}=0. $$ 如果我們表示 $ u:=\frac t{1-t} $ ， 我們獲得 $ t = \frac u{1+u} $ 和 $ 1-t = \frac1{1+u} $ ，因此我們必須證明$$ \lim_{u\to\infty} \frac{B_u}{u+1} \stackrel{\text{a.s.}}=0, $$這是眾所周知的。