計算隨機過程函式的變異數

我正在研究關於布朗運動函式的時間積分變異數中給出的範例

在那裡我們需要計算變異數 $ I_t = \int\limits_{0}^{t} f \left(s \right) W_s ds $ .

然後，它說 $ E \left[ I_t^2 \right] = \int\limits_{0}^{t}\int\limits_{0}^{t} f \left(s \right) f \left(u \right) \min \left(s,u\right) dsdu $

有人可以幫助了解如何到達的詳細計算嗎？

還指出， $ I_t $ 服從正態分佈。這是什麼原因？

這使用了 Weiner 過程的自相關（在這篇文章中證明了）， $ {\mathbb E}[W_s W_u] = \min(s,u) $

從你的表情來看， $$ \begin{align} {\mathbb E}[I^2_t] &= {\mathbb E}[\int_0^t f(s)W_sds \int_0^t f(u)W_u du]\ &= {\mathbb E}[\int_0^t \int_0^t f(s)W_s f(u)W_u ds du]\ &= \int_0^t \int_0^t f(s) f(u) {\mathbb E}[W_s W_u] ds du \end{align} $$ 我們將期望轉移到積分中，因為 Weiner 項是唯一的非確定性事物

然後我們代入自相關，然後賓果！ $$ \begin{align} {\mathbb E}[I^2_t] &= \int_0^t \int_0^t f(s) f(u) {\mathbb E}[W_s W_u] ds du\ &= \int_0^t \int_0^t f(s) f(u) \min(s,u) ds du \end{align} $$

按要求

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57111