使用附加參數校準 Ornstein-Uhlenbeck 過程
首先，我發現兩個協整時間序列之間的價差 $ Y_t $ 和 $ Z_t $ 通過找到最佳斜率參數 $ \beta $ 在等式中 $ spread_t = Y_t - \beta Z_t $ （通過協整的 Dickey-Fuller 檢驗）。然後我說 $ spread_t = X_t $ 並如下所述擬合我的 Ornstein-Uhlenbeck 模型。
然後我有一個均值回复的 Ornstein-Uhlenbeck 過程 $ X_t $ 由 SDE 描述$$ dX_t = \lambda (\mu - X_t) dt + \sigma dW_t \tag{1} $$
其中參數是：
- $ \lambda > 0 $ : 均值回歸係數
- $ \mu \in \mathbb{R} $ : 長期平均值
- $ \sigma > 0 $ : 波動係數
我對這個過程使用了精確的離散化：
$ X_{t+1} = X_ie^{-\lambda\delta}+\mu(1-e^{-\lambda\delta}) +\sigma \sqrt{\frac{1-e^{-2\lambda\delta}}{2\lambda}}N_{0,1} $ 在哪裡 $ N $ 是標準正態分佈。
為了校準過程以找到參數，我設置了從條件密度函式派生的一組觀察值的對數概似函式：
$$ \mathcal{L}(\mu, \lambda, \hat{\sigma})=\sum_{i=1}^{n} \ln f\left(X_{i} X_{i-1} ; \mu, \lambda, \sigma\right) \ =-\frac{n}{2} \ln (2 \pi)-n \ln (\hat{\sigma}) -\frac{1}{2 \hat{\sigma}^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left[X_{i}-X_{i-1} e^{-\lambda \delta}-\mu\left(1-e^{-\lambda \delta}\right)\right]^{2}. $$
然後，我們通過將對數概似函式的每個偏導數等於零（對每個參數而言）來找到這三個參數。
我的問題如下：
跳過第一步，即協整步驟並找到 $ \beta $ 同時作為 Ornstein-Uhlenbeck 參數。所以我會有
$$ d(Y_t - \beta Z_t) = \lambda (\mu - (Y_t - \beta Z_t)) dt + \sigma dW_t $$ （因為我設置 $ X_t = (Y_t - \beta Z_t) $ 在 $ (1) $ 以上）作為我的 Ornstein-Uhlenbeck 過程。
然後我會找到一個新的對數概似函式，其中還包含參數 $ \beta $ : $$ \mathcal{L}(\mu, \lambda, \hat{\sigma}, \beta) = \dots $$
我不確定這是否有意義，因為在我們完全了解之前 $ X_t $ 過程是（我們想要建模的給定時間序列）但現在我們的 $ X_t $ 過程是 $ X_t=Y_t - \beta Z_t $ 在哪裡 $ \beta $ 是未知的。
由於符號的原因，很難理解您的部分問題。在你的公式中，我不確定在哪裡 $ X_t $ 是回歸的輸入，並且 $ X_t $ 就是你定義的傳播。至少，如果我沒有正確回答你的問題，那是我的藉口。
使用 MLE 進行估計 $ \beta $ 不會回答您的兩個時間序列是否是共變異數平穩的。這就是您的 Dickey-Fuller 測試正在做的事情。如果您只是在進行協整測試的第一步，即執行沒有截距的線性回歸，然後將殘差建模為 OUP，那麼當然，您可以操縱要最大化的 pdf：
$ f(X_t;Y_t|X_{t-1};Y_{t-1})=\frac{1}{2\pi\sigma^2}e^{-\frac{1}{2}*\frac{(Y_t - \beta X_t - Y_{t-1} + \beta X_{t-1} -\lambda(\mu-Y_{t-1}+\beta X_{t-1})^2}{\sigma^2}} $
雖然您可以測試這兩種方法是否產生等效係數，但您不一定期望相同 $ \beta $ . 您在初始回歸中排除的截距將被納入您的條件均值。這與說 l 可以預期回歸無截距的係數與包括截距的係數不同的前提相同。