具有隨機漂移的過程可以是鞅嗎？
我反复遇到過這樣的說法：**“有漂移的過程不能是鞅”。**隨機漂移也是如此嗎？
假設我有一個隨機漂移的過程：
$$ X_t=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(f_1(W_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(f_2(W_h)\right)dW_h $$
以上， $ f_1 $ 和 $ f_2 $ 是一些功能 $ W_t $ .
如果隨機漂移的期望值為零怎麼辦？IE：
$$ \mathbb{E}[X_t]=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\mathbb{E}\left[f_1(W_h)\right]\right)dh+0=\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}0dh+0=X_0 $$
我知道以上不是充分條件 $ X_t $ 成為鞅，但我的直覺告訴我，它至少應該確保 $ X_t $ “有機會”成為鞅，對嗎？
編輯：下面的範例作為“反例”（漂移的期望為零，但過程不是鞅）（感謝@AntoineConze）。所以我想知道是否有可能有一個隨機漂移的過程是鞅？
範例 1：
讓 $ X_t $ 定義為：
$$ X_t=X_0+\int_{h=0}^{h=t}W_hdh + \int_{h=0}^{h=t}1dW_h $$
NTS： $ \forall 0\leq s < t $ : $ \mathbb{E}\left[X_t | \mathcal{F}_s \right]=X_s $
現在：
$$ \mathbb{E}\left[X_0+\int_{h=0}^{h=t}W_hdh + \int_{h=0}^{h=t}1dW_h|\mathcal{F}s \right]=\=X_0+\mathbb{E}\left[\int{h=0}^{h=s}W_hdh + \int_{h=s}^{h=t}W_hdh +W_s +W(t-s)|\mathcal{F}s \right]=\=X_0+\int{h=0}^{h=s}W_hdh + \int_{h=0}^{h=s}1dW_h+\int_{h=s}^{h=t}\mathbb{E}[W_h|\mathcal{F}s]dh + \mathbb{E}[W(t-s)]{=0}=\=X_s+\int_s^tW_sdh\neq X_s $$
檢查你的計算是錯誤的。在第一個例子中 $$ E[X_t | {\cal F}_s] = X_s + E[\int_s^t W_h dh | {\cal F}_s] = X_s + \int_s^t E[W_h | {\cal F}_s] dh \= X_s + \int_s^t W_s dh = X_s + W_s (t - s) \neq X_s $$
好吧，讓我們添加一個證明，證明它絕不是（本地）鞅。
讓我們考慮一下 $ (X_t)_t $ ，一個（本地）鞅，和 $ dX_t = A_tdt+H_tdW_t $ . 我們知道 $ (\int_0^t H_sdW_s)_t $ 是局部鞅。所以 $ (V_t)_t:=(\int_0^tA_sds)_t $ 也必須是當地的鞅（假設與停止時間的家庭 $ (\tau_n)n $ 這樣我們也有 $ |V{t\wedge\tau_n}|\leq n $ ).
眾所周知，對於鞅 $ (M_t)t $ ， 我們有 $ \mathbb{E}[(M_t-M_s)^2] = \mathbb{E}[M_t^2-M_s^2] $ 對於任何 $ t>s $ ， 所以$$ \mathbb{E}[(V{t \wedge \tau_n}-V_{s \wedge \tau_n})^2] = \mathbb{E}[V_{t \wedge \tau_n}^2 - V_{s \wedge \tau_n}^2] $$
現在，自從 $ (V_{t \wedge \tau_n})t $ 是（真）有界鞅，也是 $ (V{t\wedge\tau_n}^2-\langle V \rangle_{t\wedge\tau_n})_t $ 是局部鞅。
然而， $ \langle V \rangle = 0 $ ， 因此 $ (V_{t\wedge\tau_n}^2)t $ 是局部鞅，它是有界的，所以它是真正的鞅。這意味著$$ \mathbb{E}[(V{t \wedge \tau_n}-V_{s \wedge \tau_n})^2] = \mathbb{E}[V_{t \wedge \tau_n}^2 - V_{s \wedge \tau_n}^2] = 0 $$
從這裡開始，使用連續性 $ V $ ，我們很容易證明 $ V \equiv 0 $ 幾乎可以肯定，因此不會有任何漂移，甚至沒有隨機漂移。