測度變化和 Girsanov 定理：以下模型是否允許套利，它們是否完整？
讓 $ S_{t} $ 表示股票的價格， $ \beta_{t} $ 表示儲蓄賬戶。對於下面的每個模型，說明它是否允許套利以及它是否完整。
（一個） $ \beta_{t}=e^{t}, S_{t}=B_{t}+1 $
(二) $ \beta_{t}=e^{t}, S_{t}=e^{t+\int_{0}^{t} s d B_{s}} $
（C） $ \beta_{t}=e^{t}, S_{t}=e^{t+\int_{0}^{t} B_{s} d s} $
這是我對這些問題的處理方法：
$$ \text { (a) } \frac{S_{t}}{\beta_{t}} =\frac{1+B_{t}}{e^{t}} =e^{-t}+e^{-t} B_{t} $$
$ e^{-t} $ 是確定性的，但不是恆定的，因此該模型允許套利並且不完整。這是正確的邏輯嗎？
$$ \text { (b) } \quad \frac{S_{t}}{\beta_{t}}=\frac{e^{t} e^{\int_{0}^{t} s d B_{s}}}{e^{t}} = e^{\int_{0}^{t} s d B_{s}} $$
我該如何從這裡開始？我不確定該怎麼做..（c）也一樣。
$$ \text { (c) } \quad \frac{S_{t}}{\beta_{t}}=\frac{e^{t} e^{\int_{0}^{t} B_{s}ds}}{e^{t}} = e^{\int_{0}^{t} B_{s}ds} $$
如何將 Girsanov 定理應用於 (b) 和 (c)？我不確定如何證明最後兩個，任何幫助將不勝感激謝謝
首先，讓我們檢查一下這些模型是否是免費的。資產定價的第一基本定理說，如果存在一個等價的機率測度 $ \frac{S_t}{\beta_t} = e^{-t}S_t $ 是鞅，那麼市場是無套利的，所以我們將檢查是否存在這樣的等價鞅測度。這是我們將使用 Girsanov 定理的地方，該定理指出，如果 $ Z_t = \exp\left(\int_0^t \theta_s dB_s - \frac 12 \int_0^t \theta_s^2 ds\right) $ 和 $ d\tilde{\mathbb{P}} = Z_T d\mathbb{P} $ ， 然後 $ \tilde{B}_t = B_t - \int_0^t \theta_s ds $ 是下的布朗運動 $ \tilde{\mathbb{P}} $ . 我們也可以這樣寫 $ d\tilde{B}_t = dB_t - \theta_t dt $ .
在 a) 中，我們使用 Ito 引理來計算 $ d(e^{-t}S_t) = e^{-t}(dS_t - S_tdt) = e^{-t}(dB_t - S_tdt) $ . 我們希望這是一個鞅 $ \tilde{\mathbb P} $ ，所以我們想要 $ d\tilde B_t = dB_t - S_tdt $ . 這建議設置 $ \theta_t = S_t $ 對所有人 $ t $ 在 Girsanov 定理中，即定義 $ Z_t = e^{\int_0^t S_sdB_s - \frac 12 \int_0^tS_s^2ds} $ 和 $ d\tilde{\mathbb{P}} = Z_T d\mathbb{P} $ . 然後 $ d(e^{-t}S_t) = e^{-t}d\tilde B_t $ 是鞅 $ \tilde{\mathbb{P}} $ ，所以這個模型是無套利的。
在 b) 中，我們計算$$ \begin{align*}d(e^{-t}S_t) &= d(e^{\int_0^t s dB_s}) \ &= e^{\int_0^t s dB_s}(tdB_t + \frac 12 t^2 dt) \ &= te^{\int_0^t s dB_s}(dB_t + \frac 12 t dt).\end{align*} $$ 我們再次想要找到一個使這個成為鞅的機率測度，所以我們想要 $ d\tilde B_t = dB_t + \frac 12 t dt $ . 這建議設置 $ \theta_t = -\frac 12 t $ 在 Girsanov 定理中，所以定義 $ Z_t := \exp\left(-\frac 12 \int_0^t s dB_s - \frac 18 \int_0^t s^2 ds\right) $ 和 $ d\tilde{\mathbb{P}} := Z_T d\mathbb{P} $ . 然後 $ d(e^{-t}S_t) = te^{\int_0^t s dB_s}d\tilde B_t $ 是鞅 $ \tilde{ \mathbb{P}}, $ 所以這個模型也是無套利的。
在 c) 中，我們計算$$ \begin{align*}d(e^{-t}S_t) &= d(e^{\int_0^t B_sds}) \ &= e^{\int_0^t B_sds}B_tdt.\end{align*} $$ 無論我們如何改變度量，我們都不能使它成為鞅，因為沒有 $ dB_t $ 學期。因此，該模型不是無套利的。
現在我們要檢查這些模型是否完整。通常完整的定義要求模型無套利，因此我們可以立即排除 c)。資產定價的第二個基本定理表明，當且僅當等價鞅測度唯一時，無套利模型才是完整的。在 a) 和 b) 中，我們看到只有一個選擇 $ \theta_t $ 使 $ e^{-t}S_t $ 鞅，所以這兩個模型也是完整的。一個好的經驗法則是，當風險資產的數量與不確定性來源（即布朗運動）相同時，模型是完整的。
編輯：我可能應該在我對 c) 的回答中縮小一個小差距。資產定價的第一個基本定理沒有（簡單的）逆向，因此沒有等效的鞅測度這一事實並不意味著存在套利。相反，我們可以明確地建構套利策略。如果我們考慮財富 $ X_t $ 持有的投資者 $ \Delta_t $ 當時的股票 $ t $ , 那麼他們的財富動態是$$ dX_t = \Delta_t dS_t + (X_t - \Delta_t S_t)dt = (\Delta_t S_t (1+B_t) + (X_t-\Delta_t S_t))dt = (X_t + \Delta_t S_t B_t)dt. $$ 環境 $ \Delta_t = \operatorname{sgn}(B_t) $ 然後給 $ dX_t = (X_t + S_t |B_t|)dt $ . 由於漂移是非負的，並且在任何時候都是嚴格正的 $ B_t \ne 0 $ ，我們得出結論這是套利，因為從 $ X_0 = 0 $ 我們最終得到 $ X_T \ge 0 $ 作為和 $ \mathbb{P}(X_T > 0) > 0 $ .