隨機過程為鞅的測度變化
$ \text { Give a measure change so that } X_{t}=e^{B_{t}}\left(B_{t}-t / 2\right) \text { is a martingale, } 0 \leq t \leq T $
我的嘗試
使用伊藤引理 $ X_{t} $ 我們得到：
$ -\frac{e^{B t}}{2} d t+\left(X_{t}+e^{B_{t}}\right) d B_{t}+\left(\left(2 B_{t}-t+4\right)e^{B_{t}} d t\right. \ =(\left.2 B_{t}-t+4-\frac{1}{2}\right) e^{B_{t}} d t+\left(X_{t}+e^{B_{t}}\right) d B_{t} $
然後我使用了 Girsanov 定理：
$ d \hat{B}{t}=d B{t}+\int_{0}^{+} H_{S} ds $
$ H_{t}=\frac{\left(2 B_{t}-t+4-\frac{1}{2}\right) e^{B_{t}}}{X_{t}+e^{B_{t}}} $
我有些害怕走得更遠，因為我似乎走錯了方向。
讓 $ Y_t= e^{B_t} $ 和 $ Z_t = B_{t}-t / 2 $ . 然後， $$ \begin{align*} dX_t &= Z_t dY_t + Y_t dZ_t + d\langle Y, Z\rangle_t\ &=(B_{t}-t / 2)e^{B_t}\big( dB_t + 1/2,dt \big) + e^{B_t}\big(dB_t -1/2, dt\big) + e^{B_t} dt\ &=e^{B_t}(B_t-t / 2+1)dB_t + e^{B_t}(B_t/2-t / 4 -1/2+1)dt\ &=e^{B_t}(B_t-t / 2+1)d\big(B_t+1/2t\big). \end{align*} $$ 我們定義機率測度 $ Q $ 上 $ \mathscr{F}_T $ 經過 $$ \begin{align*} \frac{dQ}{dP}=e^{-\frac{1}{8}t-\frac{1}{2}B_t}. \end{align*} $$ 然後 $ {W_t, , t\ge 0} $ ， 在哪裡 $ W_t = B_t+1/2,t $ , 是一個標準的布朗運動 $ Q $ . 而且， $$ \begin{align*} dX_t = e^{W_t-\frac{1}{2}t}(W_t-t+1)dW_t. \end{align*} $$ 那是， $ {X_t, , 0 \le t \le T} $ 是鞅。