隨機變數的特徵函式和分佈

這是Bjork 中的練習 4.3，連續時間套利理論。 $$ X_t = \int^t_0 \sigma(s)dW_s $$ $ \sigma $ 是一個確定性函式並且 $ W_t $ 是布朗運動。

我被要求找到的特徵函式 $ X_t $ 從而表明***_* $ X_t $ 正態分佈，均值為 0，變異數為 $ \int^t_0 \sigma^2(s)ds $**

我發現特徵函式是： $$ E[e^{iuX_t}]= \exp \left[-u^2/2 \int^t_0 \sigma^2(s)ds \right] $$ 我怎麼能得出這樣的結論 $ X_t $ 那麼是正態分佈的呢？

特徵函式 (chf) 定義了唯一對應的分佈函式。為了 $ X $ 具有均值的高斯 $ 0 $ 和變異數 $ \sigma^2 $ 瑞士法郎 $ E[e^{i u X}] $ 這是由 $$ e^{-\sigma^2 u^2/2}. $$ 因此，如果您確定變異數項，那麼您就完成了。特徵函式是高斯分佈之一。因此隨機變數 $ X_t $ 是高斯的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/42984