CIR 模型 - 第 n 個矩生成和∗[rn噸]和∗[r噸n]E^*[r_T^n]
我正在分析第 n 個時刻的生成過程 $ r_t $ 由 CIR 模型定義的動力學
$ r_t $ 有以下動態
$$ dr_t=a(b-r_t)dt+\sigma \sqrt{r_t} dW_t^* \quad \quad (1) $$ 對於一些常數 $ ab>\frac{\sigma^2}{2} \quad $ 令 T 為固定日期，並且 $ f_{\lambda} $ 為某個常數定義的函式 $ \lambda >0 $ 給出
$$ f_{\lambda}(t,r)=E^*[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t=r] \quad \quad (2) $$ 我想產生前四個時刻。解決方案手冊建議使用以下功能
$$ E^[r_T^n]=(-1)^n \ E^ \big{[} \ \frac{d^n}{d \lambda^n}e^{-\lambda r_t}\big{|}{\lambda=0} \ \big{]} $$ $$ =(-1)^n \ \frac{d^n}{d \lambda^n}e^{-\lambda r_t}\big{|}{\lambda=0} \ \quad \quad (3) $$ 我理解使用 MGF 導出函式矩的一般想法。以標準方式計算為
$$ M_t = E[e^{tX}]=\int e^{tx} \ f(x) dx \quad \quad (4) $$接著$$ M_t^{(n)}(0) \quad \quad (5) $$將給出第 n 個時刻。 我在這裡對幾件事感到困惑。首先事實是 $ f_{\lambda} $ 看起來已經像矩生成函式了，所以在這種情況下，什麼乘以什麼。
其次，我不明白建議的函式 (3) 是如何創建的。這 $ -\lambda $ （3）中使用的讓我感到困惑。標準力矩生成功能沒有減號。最後，我不清楚使用此函式進行計算的步驟。是衍生的 $ r_t $ 直接或僅取函式 $ e^{-\lambda}r_t $ 其中 r_r 被替換。
有人可以澄清一下嗎？
有前兩個時刻 $ r_t $ 我應該得到
$$ E^[r_T^1]=b(1-e^{-at})+e^{-at}r_0 $$ $$ E^[r_T^2]=e^{-2aT}[(b(1-e^{-at})+e^{-at}r_0)^2]+\frac{e^{-2aT}}{2a}[(e^{aT}-1)(b(e^{aT}-1)+2r_0)\sigma^2] $$
您的問題可能來自使用的符號。
讓隨機變數的矩生成函式(MGF) $ X $ 定義為
$$ M_X(u) := E[e^{uX}] $$ 根據這個定義，它意味著 $$ E(X^n) = M_X^{(n)}(u=0) = \frac{d^{n} M_X}{ d u^{n}}(u=0) $$ 知道了這個函式
$$ f_{\lambda}(t,r)=E[e^{-\lambda {r_{T}}}|r_t=r] $$ 可以解釋為 MGF $ M_{X}(\lambda) $ 隨機變數 $ X = (-r_T \vert\ r_t = r) $ （注意減號和調節）。 應用這些定義，我們因此有
$$ \begin{align} E[(-r_T)^n \vert r_t=r] &= \frac{d^{n} M_X}{ d \lambda^{n}}(\lambda=0) \ &= \left. \frac{d^{n} f_{\lambda}(t,r)}{ d \lambda^{n}} \right\vert_{\lambda=0} \end{align} $$ 現在，注意到
$$ (-r_T)^n = (-1)^n\ r_T^n $$ 並且將一個數量乘以或除以 $ (-1)^n $ (deterministic) 嚴格等價 $ \forall n\in\mathbb{N} $ 為您提供手動解決方案 $$ E[r_T^n \vert r_t=r] = (-1)^n \left. \frac{d^{n} f_{\lambda}(t,r)}{ d \lambda^{n}} \right\vert_{\lambda=0} $$ 現在你如何使用它？只需採取 $ n $ - 函式的導數 $ f $ 關於 $ \lambda $ , 評估它 $ \lambda=0 $ 並改變符號如果 $ n $ 獲得原始的有序時刻是奇怪的 $ n $ .
請注意，MGF 給您的是原始時刻，而不是中心時刻。對於中心時刻，您需要一些額外的代數。例如，對於第二個中心時刻（ $ n=2 $ )，我們可以這樣寫：
$$ E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - E(X)^2 = \mu_2 - \mu_1^2 $$ 在哪裡 $ \mu_i $ , $ i=1,2 $ 是秩序的原始時刻 $ i $ 如上所述使用 MGF 獲得。