CIR過程特徵函式
由下式給出的 CIR 過程的特徵函式是什麼 $ dv_t = \kappa (\theta - v_t)dt + \sigma \sqrt{v_t}dW_t $ 不幸的是，我在文獻中找不到答案。我知道它屬於仿射擴散過程，但是我們如何找到特徵函式呢？
變異數的分佈 $ v_t $ 已知，見這裡。我們有$$ v_t=\frac{1}{2c_t}Y, $$在哪裡$$ c_t=\frac{2\kappa}{(1-e^{-\kappa t})\sigma^2} $$和 $ Y $ 遵循非中心 $ \chi^2 $ 分佈與 $ k=\frac{4\kappa\theta}{\sigma^2} $ 自由度和非中心參數 $ \lambda_t=2c_tv_0e^{-\kappa t} $ . 的特徵函式 $ Y $ 已知是 $$ \varphi_Y(u)=\frac{1}{(1-2iu)^{k/2}}\exp\left(\frac{iu\lambda_t}{1-2iu}\right). $$ 的特徵函式 $ v_t $ 因此是 $$ \varphi_{v_t}(u)=\varphi_{Y/2c_t}(u)=\varphi_Y\left(\frac{u}{2c_t}\right)=\frac{1}{(1-iu/c_t)^{k/2}}\exp\left(\frac{iu\lambda_t/2}{c_t-iu}\right). $$
這是特徵函式 $ v_t $ ，即Heston (1993)模型中的變異數或短期利率 $ r_t $ 在考克斯等人。（1985）模型。這與通常期權定價所需的Heston (1993)模型中（對數）股票價格的特徵函式非常不同。
除了@Kevin 的精彩回答之外，您還可以利用您剛剛描述的仿射屬性。相關機制可在DPS2000中找到，方程式 (2.4) 至 (2.6)。
我們正在尋找
$$ \phi(u,t) \equiv E\left(e^{iuv_t}\right) $$
在哪裡 $ E(\cdot)\equiv E(\cdot|\mathcal{F_0}) $ . 對於仿射過程，這個期望可以通過一組巧妙選擇的微分方程來求解，即 Feynman-Kac（見論文）：
$$ \phi(u,s) = E\left(e^{\alpha_s + \beta_s v_s}\right) \mathrm{s.t.} \alpha_t=0, \beta_t=ui $$
函式在哪裡 $ \alpha(t), \beta(t) $ 在 CIR 過程的情況下滿足常微分方程：
$$ \frac{\partial \beta}{\partial \tau} = -\kappa\beta_\tau + \frac{1}{2}\sigma^2\beta_\tau^2 $$受制於 $ \beta_0 = ui $ 和 $$ \frac{\partial \alpha}{\partial \tau}=\kappa\theta\beta_\tau $$ 受制於 $ \alpha_0=0 $
注意：我已經從 $ s:0\to t $ 至 $ \tau:t\to 0 $ ，因此在與紙張進行比較時，您會發現不同的符號
您現在可以求解 ODE，從 $ \beta $ 並將結果插入 ODE $ \alpha $ .