來自 Ornstein-Uhlenbeck 過程的 CIR 過程
CIR 模型上的維基百科條目指出“這個過程可以定義為 Ornstein-Uhlenbeck 過程的平方和”，但沒有提供推導或參考。任何人都可以這樣做嗎？我只能推導出與自然數成比例的特殊數字的平衡水平，而不能推導出任意實數的平衡水平。
我認為您所引用的陳述對於一般來說是不正確的 $ n \in \mathbb{R} $ 但只為 $ n \in \mathbb{N} $ .
這背後的直覺是每個 Ornstein-Uhlenbeck (OU) 過程都是正態分佈的。因此總和 $ n $ 平方 OU 過程是卡方分佈的 $ n $ 自由程度。定義 $ X $ 成為一個 $ n $ 維向量值 OU 過程
$$ \begin{equation} \mathrm{d}X_t^i = \alpha X_t^i \mathrm{d}t + \beta \mathrm{d}W_t^i, \end{equation} $$ 在哪裡 $ W $ 是一個 $ n $ 獨立布朗運動的維向量。讓
$$ \begin{equation} Y_t = \sum_{i = 1}^n \left( X_t^i \right)^2. \end{equation} $$ 注意
$$ \begin{eqnarray} \mathrm{d} \left( X_t^i \right)^2 & = & 2 X_t^i \mathrm{d}X_t^i + 2 \mathrm{d} \langle X^i \rangle_t\ & = & \left( 2 \alpha \left( X_t^i \right)^2 + \beta^2 \right) \mathrm{d}t + 2 \beta X_t^i \mathrm{d}W_t^i \end{eqnarray} $$ 因此
$$ \begin{eqnarray} \mathrm{d}Y_t & = & \mathrm{d} \left( \sum_{i = 1}^n \left( X_t^i \right)^2 \right)\ & = & \sum_{i = 1}^n \mathrm{d} \left( X_t^i \right)^2\ & = & \left( 2 \alpha Y_t + n \beta^2 \right) \mathrm{d}t + 2 \beta \sum_{i = 1}^n X_t^i \mathrm{d}W_t^i, \end{eqnarray} $$ 第二步來自布朗運動的獨立性。接下來注意流程
$$ \begin{equation} Z_t = \int_0^t \sum_{i = 1}^n X_u^i \mathrm{d}W_u^i \end{equation} $$ 是具有二次變分的鞅
$$ \begin{eqnarray} \langle Z \rangle_t & = & \int_0^t \sum_{i = 1}^n \left( X_u^i \right)^2 \mathrm{d}u\ & = & \int_0^t Y_u \mathrm{d}u. \end{eqnarray} $$ 因此，根據 Levy 的表徵定理，該過程
$$ \begin{equation} \tilde{W}t = \int_0^t \frac{1}{\sqrt{Y_u}} \sum{i = 1}^n X_u^i \mathrm{d}W_u^i \end{equation} $$ 是布朗運動。因此
$$ \begin{eqnarray} \mathrm{d}Y_t & = & \left( 2 \alpha Y_t + n \beta^2 \right) \mathrm{d}t + 2 \beta \sqrt{Y_t} \mathrm{d}\tilde{W}_t\ & = & \kappa \left( \theta - Y_t \right) \mathrm{d}t + \xi \sqrt{Y_t} \mathrm{d}W_t, \end{eqnarray} $$ 在哪裡 $ \kappa = -2 \alpha $ , $ \theta = -n \beta^2 / 2 \alpha $ 和 $ \xi = 2 \beta $ .
這可以概括為 $ n \in \mathbb{R} $ 通過考慮平方貝塞爾過程的時間變化。Jeanblanc, Yor 和 Chesney (2009) “金融市場的數學方法”，Springer 中的第 6 章提供了全面的參考。