非隨機過程的條件期望
在我正在處理的一個例子中，它表明 $ W_{t}^{2} - t $ 是關於布朗運動過濾的鞅 $ \mathcal{F}_{s}^{W} $ 和 $ t>s $ . 一切都很好，除了作者使用事實的證明中的一部分
$$ \begin{equation} E(t|\mathcal{F}_{s}^{W}) = s \end{equation} $$ 我不太明白這樣做的理由。例如，如果我們採取一個過程 $ X(t,\omega) = t $ ，那麼看起來 $ X $ 不是隨機的，實際上獨立於 $ \omega $ 對全部 $ \omega $ 在樣本空間中——那麼為什麼上面等式中的條件期望有意義呢？
由於作者，上述問題是一個錯字 - 表達式應評估為
$$ \begin{equation} E(t|\mathcal{F}_{s}^{W}) = t \end{equation} $$ 由於問題中的推理。對不起，噪音。
您可能想給我們作者的確切陳述。
讓維納過程 $ W_{s} $ 成為房車 $ \left(\mathcal{F}{s},\Omega\right)\to\left(\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right),\mathbb{R}\right) $ . Borel- $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right) $ 包含表格的所有區間 $ \left[x,y\right] $ 為了 $ x\neq y\in\mathbb{R} $ ，因為你必須能夠及時告訴 $ s\geq 0 $ 如果維納過程 $ W{s} $ 在這個區間有沒有它的值。為了 $ W_{s} $ 為了可測量，這個區間的所有原像都必須在 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}_{s}^{W} $ . 所以（確定性）隨機變數 $ X\left(t,\omega\right)=t $ 也是可測量的時間 $ s\geq 0 $ 因為我們可以說它的值在哪個區間。但是確定性 rv $ X\left(t,\omega\right)=t $ 不依賴於 $ \omega $ ，所以每個可獲得的 resp 的原像。無法獲得的間隔是 $ \Omega $ 分別 $ \emptyset $ .
每個確定性的 rv 都是可測量的 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{0}:=\left{\emptyset,\Omega\right} $ , 它包含在其他所有 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{s}^{W} $ . 所以即使我們以更粗（更小）為條件 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{s}^{W} $ 確定性 rv 是可測量的，我們只需要瑣碎的 $ \sigma $ -代數 $ \mathcal{F}{0} $ . 但那是
$$ \begin{equation} \mathbb{E}\left[t\mid\mathcal{F}_{0}\right] = \mathbb{E}\left[t\right] = t \mathrm{.} \end{equation} $$