從簡單的隨機遊走構造布朗運動
我試圖弄清楚布朗運動是如何從簡單的隨機遊走中形成的。我見過兩種類似的方法：
為什麼使用一種方法 $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ 而另一個沒有？它們如何有效？第二種方法建議 $ \frac{1}{\sqrt{k}} $ 被添加，使得由此產生的布朗運動遵循中心極限定理的正態分佈。第一種方法仍然是這種情況嗎？
不確定第一種方法的正確性，但第二種方法使用 $ 1 /\sqrt k $ 將總和的變異數按比例縮放 $ k $ . 所以兩個過程的區別（比如說 $ W_t $ 和 $ W_{t+\Delta t} $ ) 隨機遊走產生的變化為 $ \Delta t $ ，滿足獲得維納過程所需的條件之一。
使用買賣訂單（或向上和向下操作符）之間的基本互動的概念，有一個期權定價公式的正態分佈版本的非常簡單的基本推導。
這個想法是建立“步驟”和價格位移之間的關係。
考慮一個假設的股票圖表，其中股票已經移動了一些數量 $ a $ （通常是一小部分）在一段時間內 $ t_1 $ （通常以年為單位）。它可以被視覺化為一個三角形，頂點是 $ t_1 $ 和 $ p_1 $ .
$ p_1 $ 是股票的目前價格，位移是 $ a*p_1 $
表示 $ t_2 $ 作為到期時間
考慮一個離散的總和 $ u $ 和下來 $ d $ 庫存訂單由
$ u+d=t_2/t_1 $
每個“上”和“下”代表一個“時間單位”。將“上升”和“下降”相加得到單位的總和。
基本互動的第二部分是“上升”和“下降”之間的區別：
$ u-d=f(p_2-p_1) $
這意味著“上升”和“下降”之間的差異給出了新位移方面的函式， $ p_2-p_1 $ 在哪裡 $ p_2 \ge p_1 $ .
這對線性方程組求解 $ u $ 和 $ d $ :
$ u=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}+f(p_2-p_1)\right) $
$ d=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}-f(p_2-p_1)\right) $
考慮兩個位移之間的比例關係，基數為 $ t_1 $ 還有我們的新人， $ p_2-p_1 $
$ \frac{a*p}{t_1}=\frac{p_2-p_1}{x} $
解決 $ x $ 給出所需的功能 $ p_2-p_1 $ ，它被插入 $ u $ :
$ u=\frac{1}{2}\left(\frac{t_2}{t_1}+\frac{t_1(p_2-p_1)}{a*p_1}\right) $
什麼時候 $ p_2=p_1 $ ，庫存不變，這意味著“向上”單位的數量等於“向下”單位的數量。
我們所做的是建立價格位移與“上漲”和“下跌”單位之間的關係。
‘Up’ 和 ‘down’ 單位，類似於拋硬幣，也服從正態分佈：
$ \mu_1 +\sigma_1 = \frac{t_2}{2t_1}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{t_2}{t_1}} $
還有 $ \mu_2,\sigma_2 $ 價格。
$ \mu_2 = p_1 e^{r*t} $
（這是因為如果 $ p_2=p_1 $ 庫存不變，因此 $ \mu_1 = \frac{t_2}{2t_1} $ 這意味著“上”單元的數量與“下”相同，導致沒有位移。
我們必須找到 $ \sigma_2 $
由於單位和價格位移之間的等價性， $ \sigma_2 $ 可以通過設置解決 $ p_2=p_1+\sigma_2 $
從等價：
$ \mu_1 +\sigma_1=u $
我們有：
$ \sqrt{\frac{t_2}{t_1}}=\frac{t_1 \sigma_2}{a p_1} $
重新排列給出了經典的結果： $ \sigma_2=a p_1 \sqrt{t_2} $ 環境 $ t_1=1 $ （一年和 $ t_2 $ 是一年的分數）
這有助於我更好地理解隨機遊走